حل {l}{2-y=2(6x+3)+y}{x+4=3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 - y = 2 ( 6 x + 3 ) + y } \\ { x + 4 = 3 y } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=-\frac{10}{19}\approx -0.526315789$$

$$y = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في 6x+3.

$$2-y=12x+6+y$$

اطرح 12x من الطرفين.

$$2-y-12x=6+y$$

اطرح y من الطرفين.

$$2-y-12x-y=6$$

اجمع -y مع -y لتحصل على -2y.

$$2-2y-12x=6$$

اطرح 2 من الطرفين.

$$-2y-12x=6-2$$

اطرح 2 من 6 لتحصل على 4.

$$-2y-12x=4$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3y من الطرفين.

$$x+4-3y=0$$

اطرح 4 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$x-3y=-4$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$-2y-12x=4$$

أضف 12x إلى طرفي المعادلة.

$$-2y=12x+4$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=-\frac{1}{2}\left(12x+4\right)$$

اضرب -\frac{1}{2} في 12x+4.

$$y=-6x-2$$

عوّض عن y بالقيمة -6x-2 في المعادلة الأخرى، -3y+x=-4.

$$-3\left(-6x-2\right)+x=-4$$

اضرب -3 في -6x-2.

$$18x+6+x=-4$$

اجمع 18x مع x.

$$19x+6=-4$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$19x=-10$$

قسمة طرفي المعادلة على 19.

$$x=-\frac{10}{19}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{10}{19} في y=-6x-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-6\left(-\frac{10}{19}\right)-2$$

اضرب -6 في -\frac{10}{19}.

$$y=\frac{60}{19}-2$$

اجمع -2 مع \frac{60}{19}.

$$y=\frac{22}{19}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في 6x+3.

$$2-y=12x+6+y$$

اطرح 12x من الطرفين.

$$2-y-12x=6+y$$

اطرح y من الطرفين.

$$2-y-12x-y=6$$

اجمع -y مع -y لتحصل على -2y.

$$2-2y-12x=6$$

اطرح 2 من الطرفين.

$$-2y-12x=6-2$$

اطرح 2 من 6 لتحصل على 4.

$$-2y-12x=4$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3y من الطرفين.

$$x+4-3y=0$$

اطرح 4 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$x-3y=-4$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{-12}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}&-\frac{6}{19}\\-\frac{3}{38}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}\times 4-\frac{6}{19}\left(-4\right)\\-\frac{3}{38}\times 4+\frac{1}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\-\frac{10}{19}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في 6x+3.

$$2-y=12x+6+y$$

اطرح 12x من الطرفين.

$$2-y-12x=6+y$$

اطرح y من الطرفين.

$$2-y-12x-y=6$$

اجمع -y مع -y لتحصل على -2y.

$$2-2y-12x=6$$

اطرح 2 من الطرفين.

$$-2y-12x=6-2$$

اطرح 2 من 6 لتحصل على 4.

$$-2y-12x=4$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3y من الطرفين.

$$x+4-3y=0$$

اطرح 4 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$x-3y=-4$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

لجعل -2y و-3y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -2.

$$-3\left(-2\right)y-3\left(-12\right)x=-3\times 4,-2\left(-3\right)y-2x=-2\left(-4\right)$$

تبسيط.

$$6y+36x=-12,6y-2x=8$$

اطرح 6y-2x=8 من 6y+36x=-12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6y-6y+36x+2x=-12-8$$

اجمع 6y مع -6y. حذف الحدين 6y و-6y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$36x+2x=-12-8$$

اجمع 36x مع 2x.

$$38x=-12-8$$

اجمع -12 مع -8.

$$38x=-20$$

قسمة طرفي المعادلة على 38.

$$x=-\frac{10}{19}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{10}{19} في -3y+x=-4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-3y-\frac{10}{19}=-4$$

أضف \frac{10}{19} إلى طرفي المعادلة.

$$-3y=-\frac{66}{19}$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=\frac{22}{19}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$