حل {l}{2(x+3)=3(y+1)+1}{3(x-y-1)=2(x-2)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 3 ) = 3 ( y + 1 ) + 1 } \\ { 3 ( x - y - 1 ) = 2 ( x - 2 ) } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=0$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

اجمع 3 مع 1 لتحصل على 4.

$$2x+6=3y+4$$

اطرح 3y من الطرفين.

$$2x+6-3y=4$$

اطرح 6 من الطرفين.

$$2x-3y=4-6$$

اطرح 6 من 4 لتحصل على -2.

$$2x-3y=-2$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x-2.

$$3x-3y-3=2x-4$$

اطرح 2x من الطرفين.

$$3x-3y-3-2x=-4$$

اجمع 3x مع -2x لتحصل على x.

$$x-3y-3=-4$$

إضافة 3 لكلا الجانبين.

$$x-3y=-4+3$$

اجمع -4 مع 3 لتحصل على -1.

$$x-3y=-1$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-3y=-2,x-3y=-1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-3y=-2$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=3y-2$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 3y-2.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y}{2}-1 في المعادلة الأخرى، x-3y=-1.

$$\frac{3}{2}y-1-3y=-1$$

اجمع \frac{3y}{2} مع -3y.

$$-\frac{3}{2}y-1=-1$$

أضف 1 إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{3}{2}y=0$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{3}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في x=\frac{3}{2}y-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=0$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

اجمع 3 مع 1 لتحصل على 4.

$$2x+6=3y+4$$

اطرح 3y من الطرفين.

$$2x+6-3y=4$$

اطرح 6 من الطرفين.

$$2x-3y=4-6$$

اطرح 6 من 4 لتحصل على -2.

$$2x-3y=-2$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x-2.

$$3x-3y-3=2x-4$$

اطرح 2x من الطرفين.

$$3x-3y-3-2x=-4$$

اجمع 3x مع -2x لتحصل على x.

$$x-3y-3=-4$$

إضافة 3 لكلا الجانبين.

$$x-3y=-4+3$$

اجمع -4 مع 3 لتحصل على -1.

$$x-3y=-1$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-3y=-2,x-3y=-1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2-\left(-1\right)\\\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=0$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

اجمع 3 مع 1 لتحصل على 4.

$$2x+6=3y+4$$

اطرح 3y من الطرفين.

$$2x+6-3y=4$$

اطرح 6 من الطرفين.

$$2x-3y=4-6$$

اطرح 6 من 4 لتحصل على -2.

$$2x-3y=-2$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x-2.

$$3x-3y-3=2x-4$$

اطرح 2x من الطرفين.

$$3x-3y-3-2x=-4$$

اجمع 3x مع -2x لتحصل على x.

$$x-3y-3=-4$$

إضافة 3 لكلا الجانبين.

$$x-3y=-4+3$$

اجمع -4 مع 3 لتحصل على -1.

$$x-3y=-1$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-3y=-2,x-3y=-1$$

اطرح x-3y=-1 من 2x-3y=-2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-x-3y+3y=-2+1$$

اجمع -3y مع 3y. حذف الحدين -3y و3y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2x-x=-2+1$$

اجمع 2x مع -x.

$$x=-2+1$$

اجمع -2 مع 1.

$$x=-1$$

عوّض عن x بالقيمة -1 في x-3y=-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-1-3y=-1$$

أضف 1 إلى طرفي المعادلة.

$$-3y=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=0$$