حل {l}{2(3x-y)=2(x-5y)-64}{3x/2-y/3=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 3 x - y ) = 2 ( x - 5 y ) - 64 } \\ { \frac { 3 x } { 2 } - \frac { y } { 3 } = 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=-9$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في 3x-y.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x-5y.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

اطرح 2x من الطرفين.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

اجمع 6x مع -2x لتحصل على 4x.

$$4x-2y=-10y-64$$

إضافة 10y لكلا الجانبين.

$$4x-2y+10y=-64$$

اجمع -2y مع 10y لتحصل على 8y.

$$4x+8y=-64$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 2,3.

$$3\times 3x-2y=36$$

اضرب 3 في 3 لتحصل على 9.

$$9x-2y=36$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+8y=-64$$

اطرح 8y من طرفي المعادلة.

$$4x=-8y-64$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-8y-64\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -8y-64.

$$x=-2y-16$$

عوّض عن x بالقيمة -2y-16 في المعادلة الأخرى، 9x-2y=36.

$$9\left(-2y-16\right)-2y=36$$

اضرب 9 في -2y-16.

$$-18y-144-2y=36$$

اجمع -18y مع -2y.

$$-20y-144=36$$

أضف 144 إلى طرفي المعادلة.

$$-20y=180$$

قسمة طرفي المعادلة على -20.

$$y=-9$$

عوّض عن y بالقيمة -9 في x=-2y-16. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\left(-9\right)-16$$

اضرب -2 في -9.

$$x=18-16$$

اجمع -16 مع 18.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-9$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في 3x-y.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x-5y.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

اطرح 2x من الطرفين.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

اجمع 6x مع -2x لتحصل على 4x.

$$4x-2y=-10y-64$$

إضافة 10y لكلا الجانبين.

$$4x-2y+10y=-64$$

اجمع -2y مع 10y لتحصل على 8y.

$$4x+8y=-64$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 2,3.

$$3\times 3x-2y=36$$

اضرب 3 في 3 لتحصل على 9.

$$9x-2y=36$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-8\times 9}&-\frac{8}{4\left(-2\right)-8\times 9}\\-\frac{9}{4\left(-2\right)-8\times 9}&\frac{4}{4\left(-2\right)-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{80}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}\left(-64\right)+\frac{1}{10}\times 36\\\frac{9}{80}\left(-64\right)-\frac{1}{20}\times 36\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-9\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=-9$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في 3x-y.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x-5y.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

اطرح 2x من الطرفين.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

اجمع 6x مع -2x لتحصل على 4x.

$$4x-2y=-10y-64$$

إضافة 10y لكلا الجانبين.

$$4x-2y+10y=-64$$

اجمع -2y مع 10y لتحصل على 8y.

$$4x+8y=-64$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 2,3.

$$3\times 3x-2y=36$$

اضرب 3 في 3 لتحصل على 9.

$$9x-2y=36$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

لجعل 4x و9x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 9 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$9\times 4x+9\times 8y=9\left(-64\right),4\times 9x+4\left(-2\right)y=4\times 36$$

تبسيط.

$$36x+72y=-576,36x-8y=144$$

اطرح 36x-8y=144 من 36x+72y=-576 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$36x-36x+72y+8y=-576-144$$

اجمع 36x مع -36x. حذف الحدين 36x و-36x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$72y+8y=-576-144$$

اجمع 72y مع 8y.

$$80y=-576-144$$

اجمع -576 مع -144.

$$80y=-720$$

قسمة طرفي المعادلة على 80.

$$y=-9$$

عوّض عن y بالقيمة -9 في 9x-2y=36. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$9x-2\left(-9\right)=36$$

اضرب -2 في -9.

$$9x+18=36$$

اطرح 18 من طرفي المعادلة.

$$9x=18$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-9$$