حل {l}{2(3x-4)+3y=31}{x/2-y/5=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 3 x - 4 ) + 3 y = 31 } \\ { \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 5 } = 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{76}{9} = 8\frac{4}{9} \approx 8.444444444$$

$$y = -\frac{35}{9} = -3\frac{8}{9} \approx -3.888888889$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في 3x-4.

$$6x-8+3y=31$$

إضافة 8 لكلا الجانبين.

$$6x+3y=31+8$$

اجمع 31 مع 8 لتحصل على 39.

$$6x+3y=39$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 10، أقل مضاعف مشترك لـ 2,5.

$$5x-2y=50$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$6x+3y=39$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$6x=-3y+39$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+39\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في -3y+39.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+13}{2} في المعادلة الأخرى، 5x-2y=50.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-2y=50$$

اضرب 5 في \frac{-y+13}{2}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{65}{2}-2y=50$$

اجمع -\frac{5y}{2} مع -2y.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{65}{2}=50$$

اطرح \frac{65}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{35}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{9}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{35}{9}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{35}{9} في x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{35}{9}\right)+\frac{13}{2}$$

اضرب -\frac{1}{2} في -\frac{35}{9} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{35}{18}+\frac{13}{2}$$

اجمع \frac{13}{2} مع \frac{35}{18} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{76}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في 3x-4.

$$6x-8+3y=31$$

إضافة 8 لكلا الجانبين.

$$6x+3y=31+8$$

اجمع 31 مع 8 لتحصل على 39.

$$6x+3y=39$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 10، أقل مضاعف مشترك لـ 2,5.

$$5x-2y=50$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{6\left(-2\right)-3\times 5}&-\frac{3}{6\left(-2\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{6\left(-2\right)-3\times 5}&\frac{6}{6\left(-2\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 39+\frac{1}{9}\times 50\\\frac{5}{27}\times 39-\frac{2}{9}\times 50\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{9}\\-\frac{35}{9}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في 3x-4.

$$6x-8+3y=31$$

إضافة 8 لكلا الجانبين.

$$6x+3y=31+8$$

اجمع 31 مع 8 لتحصل على 39.

$$6x+3y=39$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 10، أقل مضاعف مشترك لـ 2,5.

$$5x-2y=50$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

لجعل 6x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 6.

$$5\times 6x+5\times 3y=5\times 39,6\times 5x+6\left(-2\right)y=6\times 50$$

تبسيط.

$$30x+15y=195,30x-12y=300$$

اطرح 30x-12y=300 من 30x+15y=195 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$30x-30x+15y+12y=195-300$$

اجمع 30x مع -30x. حذف الحدين 30x و-30x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$15y+12y=195-300$$

اجمع 15y مع 12y.

$$27y=195-300$$

اجمع 195 مع -300.

$$27y=-105$$

قسمة طرفي المعادلة على 27.

$$y=-\frac{35}{9}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{35}{9} في 5x-2y=50. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x-2\left(-\frac{35}{9}\right)=50$$

اضرب -2 في -\frac{35}{9}.

$$5x+\frac{70}{9}=50$$

اطرح \frac{70}{9} من طرفي المعادلة.

$$5x=\frac{380}{9}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{76}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$