حل {l}{2(2x-3)+3(y+4)=7}{4(x+2)-5(2-y)=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 2 x - 3 ) + 3 ( y + 4 ) = 7 } \\ { 4 ( x + 2 ) - 5 ( 2 - y ) = - 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

اضرب 2 في 2x-3.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

اضرب 3 في y+4.

$$4x-6+3y+12=7$$

اجمع -6 مع 12.

$$4x+3y+6=7$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$4x+3y=1$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$4x=-3y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+1\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -3y+1.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+1}{4} في المعادلة الأخرى، 4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

اجمع \frac{1}{4} مع 2.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

اضرب 4 في \frac{-3y+9}{4}.

$$-3y+9-5\left(-y+2\right)=-3$$

اضرب -5 في -y+2.

$$-3y+9+5y-10=-3$$

اجمع -3y مع 5y.

$$2y+9-10=-3$$

اجمع 9 مع -10.

$$2y-1=-3$$

أضف 1 إلى طرفي المعادلة.

$$2y=-2$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}$$

اضرب -\frac{3}{4} في -1.

$$x=\frac{3+1}{4}$$

اجمع \frac{1}{4} مع \frac{3}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

بسّط المعادلة الأولى لتصبح في الصيغة العامة.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

اضرب 2 في 2x-3.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

اضرب 3 في y+4.

$$4x-6+3y+12=7$$

اجمع -6 مع 12.

$$4x+3y+6=7$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$4x+3y=1$$

بسّط المعادلة الثانية لتصبح في الصيغة العامة.

$$4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

اضرب 4 في x+2.

$$4x+8-5\left(-y+2\right)=-3$$

اضرب -5 في -y+2.

$$4x+8+5y-10=-3$$

اجمع 8 مع -10.

$$4x+5y-2=-3$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$4x+5y=-1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{4\times 5-3\times 4}&\frac{4}{4\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}-\frac{3}{8}\left(-1\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=-1$$