حل {l}{16m+50n=55}{2m+4n=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 16 m + 50 n = 55 } \\ { 2 m + 4 n = 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل m، n

$$m=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$n=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة m بعزل m على يسار علامة التساوي.

$$16m+50n=55$$

اطرح 50n من طرفي المعادلة.

$$16m=-50n+55$$

قسمة طرفي المعادلة على 16.

$$m=\frac{1}{16}\left(-50n+55\right)$$

اضرب \frac{1}{16} في -50n+55.

$$m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}$$

عوّض عن m بالقيمة -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16} في المعادلة الأخرى، 2m+4n=5.

$$2\left(-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}\right)+4n=5$$

اضرب 2 في -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16}.

$$-\frac{25}{4}n+\frac{55}{8}+4n=5$$

اجمع -\frac{25n}{4} مع 4n.

$$-\frac{9}{4}n+\frac{55}{8}=5$$

اطرح \frac{55}{8} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{9}{4}n=-\frac{15}{8}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{9}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$n=\frac{5}{6}$$

عوّض عن n بالقيمة \frac{5}{6} في m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$m=-\frac{25}{8}\times \frac{5}{6}+\frac{55}{16}$$

اضرب -\frac{25}{8} في \frac{5}{6} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$m=-\frac{125}{48}+\frac{55}{16}$$

اجمع \frac{55}{16} مع -\frac{125}{48} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$m=\frac{5}{6}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{16\times 4-50\times 2}&-\frac{50}{16\times 4-50\times 2}\\-\frac{2}{16\times 4-50\times 2}&\frac{16}{16\times 4-50\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{25}{18}\\\frac{1}{18}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 55+\frac{25}{18}\times 5\\\frac{1}{18}\times 55-\frac{4}{9}\times 5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة m وn.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

لجعل 16m و2m متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 16.

$$2\times 16m+2\times 50n=2\times 55,16\times 2m+16\times 4n=16\times 5$$

تبسيط.

$$32m+100n=110,32m+64n=80$$

اطرح 32m+64n=80 من 32m+100n=110 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$32m-32m+100n-64n=110-80$$

اجمع 32m مع -32m. حذف الحدين 32m و-32m، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$100n-64n=110-80$$

اجمع 100n مع -64n.

$$36n=110-80$$

اجمع 110 مع -80.

$$36n=30$$

قسمة طرفي المعادلة على 36.

$$n=\frac{5}{6}$$

عوّض عن n بالقيمة \frac{5}{6} في 2m+4n=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$2m+4\times \frac{5}{6}=5$$

اضرب 4 في \frac{5}{6}.

$$2m+\frac{10}{3}=5$$

اطرح \frac{10}{3} من طرفي المعادلة.

$$2m=\frac{5}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$m=\frac{5}{6}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$