حل {l}{125x+110y=6100}{x+y=50}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 125 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=40$$

$$y=10$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$125x+110y=6100$$

اطرح 110y من طرفي المعادلة.

$$125x=-110y+6100$$

قسمة طرفي المعادلة على 125.

$$x=\frac{1}{125}\left(-110y+6100\right)$$

اضرب \frac{1}{125} في -110y+6100.

$$x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{22y}{25}+\frac{244}{5} في المعادلة الأخرى، x+y=50.

$$-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}+y=50$$

اجمع -\frac{22y}{25} مع y.

$$\frac{3}{25}y+\frac{244}{5}=50$$

اطرح \frac{244}{5} من طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{25}y=\frac{6}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{25}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=10$$

عوّض عن y بالقيمة 10 في x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{22}{25}\times 10+\frac{244}{5}$$

اضرب -\frac{22}{25} في 10.

$$x=\frac{-44+244}{5}$$

اجمع \frac{244}{5} مع -\frac{44}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=40$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=40,y=10$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{125-110}&-\frac{110}{125-110}\\-\frac{1}{125-110}&\frac{125}{125-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{22}{3}\\-\frac{1}{15}&\frac{25}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 6100-\frac{22}{3}\times 50\\-\frac{1}{15}\times 6100+\frac{25}{3}\times 50\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=40,y=10$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

لجعل 125x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 125.

$$125x+110y=6100,125x+125y=125\times 50$$

تبسيط.

$$125x+110y=6100,125x+125y=6250$$

اطرح 125x+125y=6250 من 125x+110y=6100 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$125x-125x+110y-125y=6100-6250$$

اجمع 125x مع -125x. حذف الحدين 125x و-125x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$110y-125y=6100-6250$$

اجمع 110y مع -125y.

$$-15y=6100-6250$$

اجمع 6100 مع -6250.

$$-15y=-150$$

قسمة طرفي المعادلة على -15.

$$y=10$$

عوّض عن y بالقيمة 10 في x+y=50. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+10=50$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$x=40$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=40,y=10$$