حل {l}{10x+y=6y+5}{10y+x=(10x+y)+27}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + y = 6 y + 5 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) + 27 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=4$$

$$y=7$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 6y من الطرفين.

$$10x+y-6y=5$$

اجمع y مع -6y لتحصل على -5y.

$$10x-5y=5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 10x من الطرفين.

$$10y+x-10x=y+27$$

اجمع x مع -10x لتحصل على -9x.

$$10y-9x=y+27$$

اطرح y من الطرفين.

$$10y-9x-y=27$$

اجمع 10y مع -y لتحصل على 9y.

$$9y-9x=27$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$10x-5y=5$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$10x=5y+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(5y+5\right)$$

اضرب \frac{1}{10} في 5+5y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{1+y}{2} في المعادلة الأخرى، -9x+9y=27.

$$-9\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+9y=27$$

اضرب -9 في \frac{1+y}{2}.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}+9y=27$$

اجمع -\frac{9y}{2} مع 9y.

$$\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}=27$$

أضف \frac{9}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{9}{2}y=\frac{63}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{9}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=7$$

عوّض عن y بالقيمة 7 في x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

اضرب \frac{1}{2} في 7.

$$x=\frac{7+1}{2}$$

اجمع \frac{1}{2} مع \frac{7}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=7$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 6y من الطرفين.

$$10x+y-6y=5$$

اجمع y مع -6y لتحصل على -5y.

$$10x-5y=5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 10x من الطرفين.

$$10y+x-10x=y+27$$

اجمع x مع -10x لتحصل على -9x.

$$10y-9x=y+27$$

اطرح y من الطرفين.

$$10y-9x-y=27$$

اجمع 10y مع -y لتحصل على 9y.

$$9y-9x=27$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&-\frac{-5}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&\frac{10}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{9}\times 27\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=4,y=7$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 6y من الطرفين.

$$10x+y-6y=5$$

اجمع y مع -6y لتحصل على -5y.

$$10x-5y=5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 10x من الطرفين.

$$10y+x-10x=y+27$$

اجمع x مع -10x لتحصل على -9x.

$$10y-9x=y+27$$

اطرح y من الطرفين.

$$10y-9x-y=27$$

اجمع 10y مع -y لتحصل على 9y.

$$9y-9x=27$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

لجعل 10x و-9x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -9 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 10.

$$-9\times 10x-9\left(-5\right)y=-9\times 5,10\left(-9\right)x+10\times 9y=10\times 27$$

تبسيط.

$$-90x+45y=-45,-90x+90y=270$$

اطرح -90x+90y=270 من -90x+45y=-45 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-90x+90x+45y-90y=-45-270$$

اجمع -90x مع 90x. حذف الحدين -90x و90x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$45y-90y=-45-270$$

اجمع 45y مع -90y.

$$-45y=-45-270$$

اجمع -45 مع -270.

$$-45y=-315$$

قسمة طرفي المعادلة على -45.

$$y=7$$

عوّض عن y بالقيمة 7 في -9x+9y=27. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-9x+9\times 7=27$$

اضرب 9 في 7.

$$-9x+63=27$$

اطرح 63 من طرفي المعادلة.

$$-9x=-36$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=7$$