حل {l}{10x+5y=170}{6x+10y=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 5 y = 170 } \\ { 6 x + 10 y = 200 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=10$$

$$y=14$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$10x+5y=170$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$10x=-5y+170$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-5y+170\right)$$

اضرب \frac{1}{10} في -5y+170.

$$x=-\frac{1}{2}y+17$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{2}+17 في المعادلة الأخرى، 6x+10y=200.

$$6\left(-\frac{1}{2}y+17\right)+10y=200$$

اضرب 6 في -\frac{y}{2}+17.

$$-3y+102+10y=200$$

اجمع -3y مع 10y.

$$7y+102=200$$

اطرح 102 من طرفي المعادلة.

$$7y=98$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$y=14$$

عوّض عن y بالقيمة 14 في x=-\frac{1}{2}y+17. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times 14+17$$

اضرب -\frac{1}{2} في 14.

$$x=-7+17$$

اجمع 17 مع -7.

$$x=10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=10,y=14$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10\times 10-5\times 6}&-\frac{5}{10\times 10-5\times 6}\\-\frac{6}{10\times 10-5\times 6}&\frac{10}{10\times 10-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{3}{35}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 170-\frac{1}{14}\times 200\\-\frac{3}{35}\times 170+\frac{1}{7}\times 200\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=10,y=14$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

لجعل 10x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 10.

$$6\times 10x+6\times 5y=6\times 170,10\times 6x+10\times 10y=10\times 200$$

تبسيط.

$$60x+30y=1020,60x+100y=2000$$

اطرح 60x+100y=2000 من 60x+30y=1020 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$60x-60x+30y-100y=1020-2000$$

اجمع 60x مع -60x. حذف الحدين 60x و-60x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$30y-100y=1020-2000$$

اجمع 30y مع -100y.

$$-70y=1020-2000$$

اجمع 1020 مع -2000.

$$-70y=-980$$

قسمة طرفي المعادلة على -70.

$$y=14$$

عوّض عن y بالقيمة 14 في 6x+10y=200. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x+10\times 14=200$$

اضرب 10 في 14.

$$6x+140=200$$

اطرح 140 من طرفي المعادلة.

$$6x=60$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=10,y=14$$