حل {l}{10x+10y=9}{5x-2y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 10 y = 9 } \\ { 5 x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$10x+10y=9$$

اطرح 10y من طرفي المعادلة.

$$10x=-10y+9$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-10y+9\right)$$

اضرب \frac{1}{10} في -10y+9.

$$x=-y+\frac{9}{10}$$

عوّض عن x بالقيمة -y+\frac{9}{10} في المعادلة الأخرى، 5x-2y=1.

$$5\left(-y+\frac{9}{10}\right)-2y=1$$

اضرب 5 في -y+\frac{9}{10}.

$$-5y+\frac{9}{2}-2y=1$$

اجمع -5y مع -2y.

$$-7y+\frac{9}{2}=1$$

اطرح \frac{9}{2} من طرفي المعادلة.

$$-7y=-\frac{7}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=\frac{1}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{2} في x=-y+\frac{9}{10}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{9}{10}$$

اجمع \frac{9}{10} مع -\frac{1}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{2}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{10\left(-2\right)-10\times 5}&-\frac{10}{10\left(-2\right)-10\times 5}\\-\frac{5}{10\left(-2\right)-10\times 5}&\frac{10}{10\left(-2\right)-10\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{35}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{14}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{35}\times 9+\frac{1}{7}\\\frac{1}{14}\times 9-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

لجعل 10x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 10.

$$5\times 10x+5\times 10y=5\times 9,10\times 5x+10\left(-2\right)y=10$$

تبسيط.

$$50x+50y=45,50x-20y=10$$

اطرح 50x-20y=10 من 50x+50y=45 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$50x-50x+50y+20y=45-10$$

اجمع 50x مع -50x. حذف الحدين 50x و-50x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$50y+20y=45-10$$

اجمع 50y مع 20y.

$$70y=45-10$$

اجمع 45 مع -10.

$$70y=35$$

قسمة طرفي المعادلة على 70.

$$y=\frac{1}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{2} في 5x-2y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x-2\times \frac{1}{2}=1$$

اضرب -2 في \frac{1}{2}.

$$5x-1=1$$

أضف 1 إلى طرفي المعادلة.

$$5x=2$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{2}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$