حل {l}{10-3(x+4y)=4(x+5y)}{3(x+y)=10+x+y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 - 3 ( x + 4 y ) = 4 ( x + 5 y ) } \\ { 3 ( x + y ) = 10 + x + y } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=6$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب -3 في x+4y.

$$10-3x-12y=4\left(x+5y\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في x+5y.

$$10-3x-12y=4x+20y$$

اطرح 4x من الطرفين.

$$10-3x-12y-4x=20y$$

اجمع -3x مع -4x لتحصل على -7x.

$$10-7x-12y=20y$$

اطرح 20y من الطرفين.

$$10-7x-12y-20y=0$$

اجمع -12y مع -20y لتحصل على -32y.

$$10-7x-32y=0$$

اطرح 10 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$-7x-32y=-10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x+y.

$$3x+3y=10+x+y$$

اطرح x من الطرفين.

$$3x+3y-x=10+y$$

اجمع 3x مع -x لتحصل على 2x.

$$2x+3y=10+y$$

اطرح y من الطرفين.

$$2x+3y-y=10$$

اجمع 3y مع -y لتحصل على 2y.

$$2x+2y=10$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-7x-32y=-10,2x+2y=10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-7x-32y=-10$$

أضف 32y إلى طرفي المعادلة.

$$-7x=32y-10$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(32y-10\right)$$

اضرب -\frac{1}{7} في 32y-10.

$$x=-\frac{32}{7}y+\frac{10}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-32y+10}{7} في المعادلة الأخرى، 2x+2y=10.

$$2\left(-\frac{32}{7}y+\frac{10}{7}\right)+2y=10$$

اضرب 2 في \frac{-32y+10}{7}.

$$-\frac{64}{7}y+\frac{20}{7}+2y=10$$

اجمع -\frac{64y}{7} مع 2y.

$$-\frac{50}{7}y+\frac{20}{7}=10$$

اطرح \frac{20}{7} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{50}{7}y=\frac{50}{7}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{50}{7}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=-\frac{32}{7}y+\frac{10}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{32}{7}\left(-1\right)+\frac{10}{7}$$

اضرب -\frac{32}{7} في -1.

$$x=\frac{32+10}{7}$$

اجمع \frac{10}{7} مع \frac{32}{7} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب -3 في x+4y.

$$10-3x-12y=4\left(x+5y\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في x+5y.

$$10-3x-12y=4x+20y$$

اطرح 4x من الطرفين.

$$10-3x-12y-4x=20y$$

اجمع -3x مع -4x لتحصل على -7x.

$$10-7x-12y=20y$$

اطرح 20y من الطرفين.

$$10-7x-12y-20y=0$$

اجمع -12y مع -20y لتحصل على -32y.

$$10-7x-32y=0$$

اطرح 10 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$-7x-32y=-10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x+y.

$$3x+3y=10+x+y$$

اطرح x من الطرفين.

$$3x+3y-x=10+y$$

اجمع 3x مع -x لتحصل على 2x.

$$2x+3y=10+y$$

اطرح y من الطرفين.

$$2x+3y-y=10$$

اجمع 3y مع -y لتحصل على 2y.

$$2x+2y=10$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-7x-32y=-10,2x+2y=10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-7&-32\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-7&-32\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-32\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-32\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-32\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-32\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-32\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-7\times 2-\left(-32\times 2\right)}&-\frac{-32}{-7\times 2-\left(-32\times 2\right)}\\-\frac{2}{-7\times 2-\left(-32\times 2\right)}&-\frac{7}{-7\times 2-\left(-32\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}&\frac{16}{25}\\-\frac{1}{25}&-\frac{7}{50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}\left(-10\right)+\frac{16}{25}\times 10\\-\frac{1}{25}\left(-10\right)-\frac{7}{50}\times 10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=6,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب -3 في x+4y.

$$10-3x-12y=4\left(x+5y\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في x+5y.

$$10-3x-12y=4x+20y$$

اطرح 4x من الطرفين.

$$10-3x-12y-4x=20y$$

اجمع -3x مع -4x لتحصل على -7x.

$$10-7x-12y=20y$$

اطرح 20y من الطرفين.

$$10-7x-12y-20y=0$$

اجمع -12y مع -20y لتحصل على -32y.

$$10-7x-32y=0$$

اطرح 10 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$-7x-32y=-10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x+y.

$$3x+3y=10+x+y$$

اطرح x من الطرفين.

$$3x+3y-x=10+y$$

اجمع 3x مع -x لتحصل على 2x.

$$2x+3y=10+y$$

اطرح y من الطرفين.

$$2x+3y-y=10$$

اجمع 3y مع -y لتحصل على 2y.

$$2x+2y=10$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-7x-32y=-10,2x+2y=10$$

لجعل -7x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -7.

$$2\left(-7\right)x+2\left(-32\right)y=2\left(-10\right),-7\times 2x-7\times 2y=-7\times 10$$

تبسيط.

$$-14x-64y=-20,-14x-14y=-70$$

اطرح -14x-14y=-70 من -14x-64y=-20 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-14x+14x-64y+14y=-20+70$$

اجمع -14x مع 14x. حذف الحدين -14x و14x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-64y+14y=-20+70$$

اجمع -64y مع 14y.

$$-50y=-20+70$$

اجمع -20 مع 70.

$$-50y=50$$

قسمة طرفي المعادلة على -50.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في 2x+2y=10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+2\left(-1\right)=10$$

اضرب 2 في -1.

$$2x-2=10$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=12$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=-1$$