حل {l}{1.5x-3.5y=-5}{-1.2x+2.5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 1.5 x - 3.5 y = - 5 } \\ { - 1.2 x + 2.5 y = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=20$$

$$y=10$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$1.5x-3.5y=-5$$

أضف \frac{7y}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$1.5x=3.5y-5$$

اقسم طرفي المعادلة على 1.5، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{2}{3}\left(3.5y-5\right)$$

اضرب \frac{2}{3} في \frac{7y}{2}-5.

$$x=\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{7y-10}{3} في المعادلة الأخرى، -1.2x+2.5y=1.

$$-1.2\left(\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}\right)+2.5y=1$$

اضرب -1.2 في \frac{7y-10}{3}.

$$-2.8y+4+2.5y=1$$

اجمع -\frac{14y}{5} مع \frac{5y}{2}.

$$-0.3y+4=1$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$-0.3y=-3$$

اقسم طرفي المعادلة على -0.3، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=10$$

عوّض عن y بالقيمة 10 في x=\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{7}{3}\times 10-\frac{10}{3}$$

اضرب \frac{7}{3} في 10.

$$x=\frac{70-10}{3}$$

اجمع -\frac{10}{3} مع \frac{70}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=20$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=20,y=10$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}&-\frac{-3.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}\\-\frac{-1.2}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}&\frac{1.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{9}&-\frac{70}{9}\\-\frac{8}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{9}\left(-5\right)-\frac{70}{9}\\-\frac{8}{3}\left(-5\right)-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=20,y=10$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

لجعل \frac{3x}{2} و-\frac{6x}{5} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -1.2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.5.

$$-1.2\times 1.5x-1.2\left(-3.5\right)y=-1.2\left(-5\right),1.5\left(-1.2\right)x+1.5\times 2.5y=1.5$$

تبسيط.

$$-1.8x+4.2y=6,-1.8x+3.75y=1.5$$

اطرح -1.8x+3.75y=1.5 من -1.8x+4.2y=6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-1.8x+1.8x+4.2y-3.75y=6-1.5$$

اجمع -\frac{9x}{5} مع \frac{9x}{5}. حذف الحدين -\frac{9x}{5} و\frac{9x}{5}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4.2y-3.75y=6-1.5$$

اجمع \frac{21y}{5} مع -\frac{15y}{4}.

$$0.45y=6-1.5$$

اجمع 6 مع -1.5.

$$0.45y=4.5$$

اقسم طرفي المعادلة على 0.45، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=10$$

عوّض عن y بالقيمة 10 في -1.2x+2.5y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-1.2x+2.5\times 10=1$$

اضرب 2.5 في 10.

$$-1.2x+25=1$$

اطرح 25 من طرفي المعادلة.

$$-1.2x=-24$$

اقسم طرفي المعادلة على -1.2، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=20$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=20,y=10$$