حل {l}{0.8x-0.2y=7}{0.4x+2y=14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.8 x - 0.2 y = 7 } \\ { 0.4 x + 2 y = 14 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=10$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$0.8x-0.2y=7,0.4x+2y=14$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$0.8x-0.2y=7$$

أضف \frac{y}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$0.8x=0.2y+7$$

اقسم طرفي المعادلة على 0.8، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=1.25\left(0.2y+7\right)$$

اضرب 1.25 في \frac{y}{5}+7.

$$x=0.25y+8.75$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y+35}{4} في المعادلة الأخرى، 0.4x+2y=14.

$$0.4\left(0.25y+8.75\right)+2y=14$$

اضرب 0.4 في \frac{y+35}{4}.

$$0.1y+3.5+2y=14$$

اجمع \frac{y}{10} مع 2y.

$$2.1y+3.5=14$$

اطرح 3.5 من طرفي المعادلة.

$$2.1y=10.5$$

اقسم طرفي المعادلة على 2.1، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=0.25y+8.75. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=0.25\times 5+8.75$$

اضرب 0.25 في 5.

$$x=\frac{5+35}{4}$$

اجمع 8.75 مع 1.25 من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=10,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$0.8x-0.2y=7,0.4x+2y=14$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\0.4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\0.4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\0.4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\0.4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\0.4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\0.4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\0.4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{0.8\times 2-\left(-0.2\times 0.4\right)}&-\frac{-0.2}{0.8\times 2-\left(-0.2\times 0.4\right)}\\-\frac{0.4}{0.8\times 2-\left(-0.2\times 0.4\right)}&\frac{0.8}{0.8\times 2-\left(-0.2\times 0.4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{21}&\frac{5}{42}\\-\frac{5}{21}&\frac{10}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{21}\times 7+\frac{5}{42}\times 14\\-\frac{5}{21}\times 7+\frac{10}{21}\times 14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=10,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$0.8x-0.2y=7,0.4x+2y=14$$

لجعل \frac{4x}{5} و\frac{2x}{5} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 0.4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 0.8.

$$0.4\times 0.8x+0.4\left(-0.2\right)y=0.4\times 7,0.8\times 0.4x+0.8\times 2y=0.8\times 14$$

تبسيط.

$$0.32x-0.08y=2.8,0.32x+1.6y=11.2$$

اطرح 0.32x+1.6y=11.2 من 0.32x-0.08y=2.8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$0.32x-0.32x-0.08y-1.6y=\frac{14-56}{5}$$

اجمع \frac{8x}{25} مع -\frac{8x}{25}. حذف الحدين \frac{8x}{25} و-\frac{8x}{25}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-0.08y-1.6y=\frac{14-56}{5}$$

اجمع -\frac{2y}{25} مع -\frac{8y}{5}.

$$-1.68y=\frac{14-56}{5}$$

اجمع 2.8 مع -11.2 من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$-1.68y=-8.4$$

اقسم طرفي المعادلة على -1.68، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في 0.4x+2y=14. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$0.4x+2\times 5=14$$

اضرب 2 في 5.

$$0.4x+10=14$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$0.4x=4$$

اقسم طرفي المعادلة على 0.4، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=10,y=5$$