حل {l}{0.5x-0.8y+9=4}{x/3+y/5=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x - 0.8 y + 9 = 4 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=6$$

$$y=10$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$0.5x-0.8y+9=4$$

اطرح 9 من طرفي المعادلة.

$$0.5x-0.8y=-5$$

أضف \frac{4y}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$0.5x=0.8y-5$$

ضرب طرفي المعادلة في 2.

$$x=2\left(0.8y-5\right)$$

اضرب 2 في \frac{4y}{5}-5.

$$x=1.6y-10$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{8y}{5}-10 في المعادلة الأخرى، \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4.

$$\frac{1}{3}\left(1.6y-10\right)+\frac{1}{5}y=4$$

اضرب \frac{1}{3} في \frac{8y}{5}-10.

$$\frac{8}{15}y-\frac{10}{3}+\frac{1}{5}y=4$$

اجمع \frac{8y}{15} مع \frac{y}{5}.

$$\frac{11}{15}y-\frac{10}{3}=4$$

أضف \frac{10}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{11}{15}y=\frac{22}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{11}{15}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=10$$

عوّض عن y بالقيمة 10 في x=1.6y-10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=1.6\times 10-10$$

اضرب 1.6 في 10.

$$x=16-10$$

اجمع -10 مع 16.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=10$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{5}}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}&-\frac{-0.8}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}\\-\frac{\frac{1}{3}}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}&\frac{0.5}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}&\frac{24}{11}\\-\frac{10}{11}&\frac{15}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}\left(-5\right)+\frac{24}{11}\times 4\\-\frac{10}{11}\left(-5\right)+\frac{15}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=6,y=10$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

لجعل \frac{x}{2} و\frac{x}{3} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في \frac{1}{3} وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 0.5.

$$\frac{1}{3}\times 0.5x+\frac{1}{3}\left(-0.8\right)y+\frac{1}{3}\times 9=\frac{1}{3}\times 4,0.5\times \frac{1}{3}x+0.5\times \frac{1}{5}y=0.5\times 4$$

تبسيط.

$$\frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y+3=\frac{4}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{10}y=2$$

اطرح \frac{1}{6}x+\frac{1}{10}y=2 من \frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y+3=\frac{4}{3} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y-\frac{1}{10}y+3=\frac{4}{3}-2$$

اجمع \frac{x}{6} مع -\frac{x}{6}. حذف الحدين \frac{x}{6} و-\frac{x}{6}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-\frac{4}{15}y-\frac{1}{10}y+3=\frac{4}{3}-2$$

اجمع -\frac{4y}{15} مع -\frac{y}{10}.

$$-\frac{11}{30}y+3=\frac{4}{3}-2$$

اجمع \frac{4}{3} مع -2.

$$-\frac{11}{30}y+3=-\frac{2}{3}$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{11}{30}y=-\frac{11}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{11}{30}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=10$$

عوّض عن y بالقيمة 10 في \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}\times 10=4$$

اضرب \frac{1}{5} في 10.

$$\frac{1}{3}x+2=4$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{3}x=2$$

ضرب طرفي المعادلة في 3.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=10$$