حل {l}{0.5x+0.7y=35}{x+0.4y=40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x + 0.7 y = 35 } \\ { x + 0.4 y = 40 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=28$$

$$y=30$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$0.5x+0.7y=35$$

اطرح \frac{7y}{10} من طرفي المعادلة.

$$0.5x=-0.7y+35$$

ضرب طرفي المعادلة في 2.

$$x=2\left(-0.7y+35\right)$$

اضرب 2 في -\frac{7y}{10}+35.

$$x=-1.4y+70$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{7y}{5}+70 في المعادلة الأخرى، x+0.4y=40.

$$-1.4y+70+0.4y=40$$

اجمع -\frac{7y}{5} مع \frac{2y}{5}.

$$-y+70=40$$

اطرح 70 من طرفي المعادلة.

$$-y=-30$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=30$$

عوّض عن y بالقيمة 30 في x=-1.4y+70. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-1.4\times 30+70$$

اضرب -1.4 في 30.

$$x=-42+70$$

اجمع 70 مع -42.

$$x=28$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=28,y=30$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.4}{0.5\times 0.4-0.7}&-\frac{0.7}{0.5\times 0.4-0.7}\\-\frac{1}{0.5\times 0.4-0.7}&\frac{0.5}{0.5\times 0.4-0.7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8&1.4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8\times 35+1.4\times 40\\2\times 35-40\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\30\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=28,y=30$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

لجعل \frac{x}{2} وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 0.5.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.5\times 0.4y=0.5\times 40$$

تبسيط.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.2y=20$$

اطرح 0.5x+0.2y=20 من 0.5x+0.7y=35 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$0.5x-0.5x+0.7y-0.2y=35-20$$

اجمع \frac{x}{2} مع -\frac{x}{2}. حذف الحدين \frac{x}{2} و-\frac{x}{2}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$0.7y-0.2y=35-20$$

اجمع \frac{7y}{10} مع -\frac{y}{5}.

$$0.5y=35-20$$

اجمع 35 مع -20.

$$0.5y=15$$

ضرب طرفي المعادلة في 2.

$$y=30$$

عوّض عن y بالقيمة 30 في x+0.4y=40. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+0.4\times 30=40$$

اضرب 0.4 في 30.

$$x+12=40$$

اطرح 12 من طرفي المعادلة.

$$x=28$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=28,y=30$$