حل {l}{0.3x-0.5y=29}{0.9x=0.2y+19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.3 x - 0.5 y = 29 } \\ { 0.9 x = 0.2 y + 19 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{370}{39} = 9\frac{19}{39} \approx 9.487179487$$

$$y = -\frac{680}{13} = -52\frac{4}{13} \approx -52.307692308$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 0.2y من الطرفين.

$$0.9x-0.2y=19$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$0.3x-0.5y=29$$

أضف \frac{y}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$0.3x=0.5y+29$$

اقسم طرفي المعادلة على 0.3، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{10}{3}\left(0.5y+29\right)$$

اضرب \frac{10}{3} في \frac{y}{2}+29.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5y+290}{3} في المعادلة الأخرى، 0.9x-0.2y=19.

$$0.9\left(\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}\right)-0.2y=19$$

اضرب 0.9 في \frac{5y+290}{3}.

$$1.5y+87-0.2y=19$$

اجمع \frac{3y}{2} مع -\frac{y}{5}.

$$1.3y+87=19$$

اطرح 87 من طرفي المعادلة.

$$1.3y=-68$$

اقسم طرفي المعادلة على 1.3، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{680}{13}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{680}{13} في x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{680}{13}\right)+\frac{290}{3}$$

اضرب \frac{5}{3} في -\frac{680}{13} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{3400}{39}+\frac{290}{3}$$

اجمع \frac{290}{3} مع -\frac{3400}{39} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{370}{39}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 0.2y من الطرفين.

$$0.9x-0.2y=19$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&-\frac{-0.5}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\\-\frac{0.9}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&\frac{0.3}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}&\frac{50}{39}\\-\frac{30}{13}&\frac{10}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}\times 29+\frac{50}{39}\times 19\\-\frac{30}{13}\times 29+\frac{10}{13}\times 19\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{370}{39}\\-\frac{680}{13}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 0.2y من الطرفين.

$$0.9x-0.2y=19$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

لجعل \frac{3x}{10} و\frac{9x}{10} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 0.9 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 0.3.

$$0.9\times 0.3x+0.9\left(-0.5\right)y=0.9\times 29,0.3\times 0.9x+0.3\left(-0.2\right)y=0.3\times 19$$

تبسيط.

$$0.27x-0.45y=26.1,0.27x-0.06y=5.7$$

اطرح 0.27x-0.06y=5.7 من 0.27x-0.45y=26.1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$0.27x-0.27x-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

اجمع \frac{27x}{100} مع -\frac{27x}{100}. حذف الحدين \frac{27x}{100} و-\frac{27x}{100}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

اجمع -\frac{9y}{20} مع \frac{3y}{50}.

$$-0.39y=\frac{261-57}{10}$$

اجمع 26.1 مع -5.7 من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$-0.39y=20.4$$

اقسم طرفي المعادلة على -0.39، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{680}{13}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{680}{13} في 0.9x-0.2y=19. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$0.9x-0.2\left(-\frac{680}{13}\right)=19$$

اضرب -0.2 في -\frac{680}{13} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$0.9x+\frac{136}{13}=19$$

اطرح \frac{136}{13} من طرفي المعادلة.

$$0.9x=\frac{111}{13}$$

اقسم طرفي المعادلة على 0.9، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{370}{39}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$