حل {l}{0.07r+0.02t=0.16}{0.05r-0.03t=0.21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.07 r + 0.02 t = 0.16 } \\ { 0.05 r - 0.03 t = 0.21 } \end{array} \right.$$

حل مسائل r، t

$$r = \frac{90}{31} = 2\frac{28}{31} \approx 2.903225806$$

$$t = -\frac{67}{31} = -2\frac{5}{31} \approx -2.161290323$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة r بعزل r على يسار علامة التساوي.

$$0.07r+0.02t=0.16$$

اطرح \frac{t}{50} من طرفي المعادلة.

$$0.07r=-0.02t+0.16$$

اقسم طرفي المعادلة على 0.07، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$r=\frac{100}{7}\left(-0.02t+0.16\right)$$

اضرب \frac{100}{7} في -\frac{t}{50}+0.16.

$$r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}$$

عوّض عن r بالقيمة \frac{-2t+16}{7} في المعادلة الأخرى، 0.05r-0.03t=0.21.

$$0.05\left(-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}\right)-0.03t=0.21$$

اضرب 0.05 في \frac{-2t+16}{7}.

$$-\frac{1}{70}t+\frac{4}{35}-0.03t=0.21$$

اجمع -\frac{t}{70} مع -\frac{3t}{100}.

$$-\frac{31}{700}t+\frac{4}{35}=0.21$$

اطرح \frac{4}{35} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{31}{700}t=\frac{67}{700}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{31}{700}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$t=-\frac{67}{31}$$

عوّض عن t بالقيمة -\frac{67}{31} في r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة r مباشرةً.

$$r=-\frac{2}{7}\left(-\frac{67}{31}\right)+\frac{16}{7}$$

اضرب -\frac{2}{7} في -\frac{67}{31} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$r=\frac{134}{217}+\frac{16}{7}$$

اجمع \frac{16}{7} مع \frac{134}{217} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$r=\frac{90}{31}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.03}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&-\frac{0.02}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\\-\frac{0.05}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&\frac{0.07}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}&\frac{200}{31}\\\frac{500}{31}&-\frac{700}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}\times 0.16+\frac{200}{31}\times 0.21\\\frac{500}{31}\times 0.16-\frac{700}{31}\times 0.21\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{90}{31}\\-\frac{67}{31}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة r وt.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

لجعل \frac{7r}{100} و\frac{r}{20} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 0.05 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 0.07.

$$0.05\times 0.07r+0.05\times 0.02t=0.05\times 0.16,0.07\times 0.05r+0.07\left(-0.03\right)t=0.07\times 0.21$$

تبسيط.

$$0.0035r+0.001t=0.008,0.0035r-0.0021t=0.0147$$

اطرح 0.0035r-0.0021t=0.0147 من 0.0035r+0.001t=0.008 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$0.0035r-0.0035r+0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

اجمع \frac{7r}{2000} مع -\frac{7r}{2000}. حذف الحدين \frac{7r}{2000} و-\frac{7r}{2000}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

اجمع \frac{t}{1000} مع \frac{21t}{10000}.

$$0.0031t=0.008-0.0147$$

اجمع 0.008 مع -0.0147 من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$0.0031t=-0.0067$$

اقسم طرفي المعادلة على 0.0031، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$t=-\frac{67}{31}$$

عوّض عن t بالقيمة -\frac{67}{31} في 0.05r-0.03t=0.21. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة r مباشرةً.

$$0.05r-0.03\left(-\frac{67}{31}\right)=0.21$$

اضرب -0.03 في -\frac{67}{31} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$0.05r+\frac{201}{3100}=0.21$$

اطرح \frac{201}{3100} من طرفي المعادلة.

$$0.05r=\frac{9}{62}$$

ضرب طرفي المعادلة في 20.

$$r=\frac{90}{31}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$