حل {l}{0,6x+2y=20}{(2)-4x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,6 x + 2 y = 20 } \\ { ( 2 ) - 4 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{130}{43}\approx 3,023255814$$

$$y=\frac{391}{43}\approx 9,093023256$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$0,6x+2y=20;-4x+y+2=-1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$0,6x+2y=20$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$0,6x=-2y+20$$

اقسم طرفي المعادلة على 0,6، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2y+20\right)$$

اضرب \frac{5}{3} في -2y+20.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-10y+100}{3} في المعادلة الأخرى، -4x+y+2=-1.

$$-4\left(-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}\right)+y+2=-1$$

اضرب -4 في \frac{-10y+100}{3}.

$$\frac{40}{3}y-\frac{400}{3}+y+2=-1$$

اجمع \frac{40y}{3} مع y.

$$\frac{43}{3}y-\frac{400}{3}+2=-1$$

اجمع -\frac{400}{3} مع 2.

$$\frac{43}{3}y-\frac{394}{3}=-1$$

أضف \frac{394}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{43}{3}y=\frac{391}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{43}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{391}{43}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{391}{43} في x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{10}{3}\times \frac{391}{43}+\frac{100}{3}$$

اضرب -\frac{10}{3} في \frac{391}{43} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{3910}{129}+\frac{100}{3}$$

اجمع \frac{100}{3} مع -\frac{3910}{129} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{130}{43}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{130}{43};y=\frac{391}{43}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$0,6x+2y=20;-4x+y+2=-1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0,6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{0,6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{0,6-2\left(-4\right)}&\frac{0,6}{0,6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}&-\frac{10}{43}\\\frac{20}{43}&\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}\times 20-\frac{10}{43}\left(-3\right)\\\frac{20}{43}\times 20+\frac{3}{43}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{130}{43}\\\frac{391}{43}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{130}{43};y=\frac{391}{43}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$0,6x+2y=20;-4x+y+2=-1$$

لجعل \frac{3x}{5} و-4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 0,6.

$$-4\times 0,6x-4\times 2y=-4\times 20;0,6\left(-4\right)x+0,6y+0,6\times 2=0,6\left(-1\right)$$

تبسيط.

$$-2,4x-8y=-80;-2,4x+0,6y+1,2=-0,6$$

اطرح -2,4x+0,6y+1,2=-0,6 من -2,4x-8y=-80 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2,4x+2,4x-8y-0,6y-1,2=-80+0,6$$

اجمع -\frac{12x}{5} مع \frac{12x}{5}. حذف الحدين -\frac{12x}{5} و\frac{12x}{5}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-8y-0,6y-1,2=-80+0,6$$

اجمع -8y مع -\frac{3y}{5}.

$$-8,6y-1,2=-80+0,6$$

اجمع -80 مع 0,6.

$$-8,6y-1,2=-79,4$$

أضف 1,2 إلى طرفي المعادلة.

$$-8,6y=-78,2$$

اقسم طرفي المعادلة على -8,6، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{391}{43}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{391}{43} في -4x+y+2=-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-4x+\frac{391}{43}+2=-1$$

اجمع \frac{391}{43} مع 2.

$$-4x+\frac{477}{43}=-1$$

اطرح \frac{477}{43} من طرفي المعادلة.

$$-4x=-\frac{520}{43}$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=\frac{130}{43}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{130}{43};y=\frac{391}{43}$$