حل {l}{-x+3y=6}{x-7y=14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 3 y = 6 } \\ { x - 7 y = 14 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-21$$

$$y=-5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-x+3y=6,x-7y=14$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-x+3y=6$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$-x=-3y+6$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=-\left(-3y+6\right)$$

اضرب -1 في -3y+6.

$$x=3y-6$$

عوّض عن x بالقيمة -6+3y في المعادلة الأخرى، x-7y=14.

$$3y-6-7y=14$$

اجمع 3y مع -7y.

$$-4y-6=14$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$-4y=20$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=-5$$

عوّض عن y بالقيمة -5 في x=3y-6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=3\left(-5\right)-6$$

اضرب 3 في -5.

$$x=-15-6$$

اجمع -6 مع -15.

$$x=-21$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-21,y=-5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-x+3y=6,x-7y=14$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-\left(-7\right)-3}&-\frac{3}{-\left(-7\right)-3}\\-\frac{1}{-\left(-7\right)-3}&-\frac{1}{-\left(-7\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4}\times 6-\frac{3}{4}\times 14\\-\frac{1}{4}\times 6-\frac{1}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\-5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-21,y=-5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-x+3y=6,x-7y=14$$

لجعل -x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -1.

$$-x+3y=6,-x-\left(-7y\right)=-14$$

تبسيط.

$$-x+3y=6,-x+7y=-14$$

اطرح -x+7y=-14 من -x+3y=6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-x+x+3y-7y=6+14$$

اجمع -x مع x. حذف الحدين -x وx، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y-7y=6+14$$

اجمع 3y مع -7y.

$$-4y=6+14$$

اجمع 6 مع 14.

$$-4y=20$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=-5$$

عوّض عن y بالقيمة -5 في x-7y=14. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-7\left(-5\right)=14$$

اضرب -7 في -5.

$$x+35=14$$

اطرح 35 من طرفي المعادلة.

$$x=-21$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-21,y=-5$$