حل {l}{-x+3y=2}{2x-5y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 3 y = 2 } \\ { 2 x - 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=31$$

$$y=11$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-x+3y=2,2x-5y=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-x+3y=2$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$-x=-3y+2$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=-\left(-3y+2\right)$$

اضرب -1 في -3y+2.

$$x=3y-2$$

عوّض عن x بالقيمة 3y-2 في المعادلة الأخرى، 2x-5y=7.

$$2\left(3y-2\right)-5y=7$$

اضرب 2 في 3y-2.

$$6y-4-5y=7$$

اجمع 6y مع -5y.

$$y-4=7$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$y=11$$

عوّض عن y بالقيمة 11 في x=3y-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=3\times 11-2$$

اضرب 3 في 11.

$$x=33-2$$

اجمع -2 مع 33.

$$x=31$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=31,y=11$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-x+3y=2,2x-5y=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-\left(-5\right)-3\times 2}&-\frac{3}{-\left(-5\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{-\left(-5\right)-3\times 2}&-\frac{1}{-\left(-5\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 2+3\times 7\\2\times 2+7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=31,y=11$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-x+3y=2,2x-5y=7$$

لجعل -x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -1.

$$2\left(-1\right)x+2\times 3y=2\times 2,-2x-\left(-5y\right)=-7$$

تبسيط.

$$-2x+6y=4,-2x+5y=-7$$

اطرح -2x+5y=-7 من -2x+6y=4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2x+2x+6y-5y=4+7$$

اجمع -2x مع 2x. حذف الحدين -2x و2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6y-5y=4+7$$

اجمع 6y مع -5y.

$$y=4+7$$

اجمع 4 مع 7.

$$y=11$$

عوّض عن y بالقيمة 11 في 2x-5y=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-5\times 11=7$$

اضرب -5 في 11.

$$2x-55=7$$

أضف 55 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=62$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=31$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=31,y=11$$