حل {l}{-8x+4y=24}{-7x+7y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 24 } \\ { - 7 x + 7 y = 28 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-2$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-8x+4y=24$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$-8x=-4y+24$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+24\right)$$

اضرب -\frac{1}{8} في -4y+24.

$$x=\frac{1}{2}y-3$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{2}-3 في المعادلة الأخرى، -7x+7y=28.

$$-7\left(\frac{1}{2}y-3\right)+7y=28$$

اضرب -7 في \frac{y}{2}-3.

$$-\frac{7}{2}y+21+7y=28$$

اجمع -\frac{7y}{2} مع 7y.

$$\frac{7}{2}y+21=28$$

اطرح 21 من طرفي المعادلة.

$$\frac{7}{2}y=7$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{7}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=\frac{1}{2}y-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{2}\times 2-3$$

اضرب \frac{1}{2} في 2.

$$x=1-3$$

اجمع -3 مع 1.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{4}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{8}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{4}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 24+\frac{1}{7}\times 28\\-\frac{1}{4}\times 24+\frac{2}{7}\times 28\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-2,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

لجعل -8x و-7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -8.

$$-7\left(-8\right)x-7\times 4y=-7\times 24,-8\left(-7\right)x-8\times 7y=-8\times 28$$

تبسيط.

$$56x-28y=-168,56x-56y=-224$$

اطرح 56x-56y=-224 من 56x-28y=-168 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$56x-56x-28y+56y=-168+224$$

اجمع 56x مع -56x. حذف الحدين 56x و-56x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-28y+56y=-168+224$$

اجمع -28y مع 56y.

$$28y=-168+224$$

اجمع -168 مع 224.

$$28y=56$$

قسمة طرفي المعادلة على 28.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في -7x+7y=28. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-7x+7\times 2=28$$

اضرب 7 في 2.

$$-7x+14=28$$

اطرح 14 من طرفي المعادلة.

$$-7x=14$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=2$$