حل {l}{-7x-2y=14}{6x+6y=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 7 x - 2 y = 14 } \\ { 6 x + 6 y = 18 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-4$$

$$y=7$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-7x-2y=14,6x+6y=18$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-7x-2y=14$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$-7x=2y+14$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(2y+14\right)$$

اضرب -\frac{1}{7} في 14+2y.

$$x=-\frac{2}{7}y-2$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{2y}{7}-2 في المعادلة الأخرى، 6x+6y=18.

$$6\left(-\frac{2}{7}y-2\right)+6y=18$$

اضرب 6 في -\frac{2y}{7}-2.

$$-\frac{12}{7}y-12+6y=18$$

اجمع -\frac{12y}{7} مع 6y.

$$\frac{30}{7}y-12=18$$

أضف 12 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{30}{7}y=30$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{30}{7}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=7$$

عوّض عن y بالقيمة 7 في x=-\frac{2}{7}y-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{7}\times 7-2$$

اضرب -\frac{2}{7} في 7.

$$x=-2-2$$

اجمع -2 مع -2.

$$x=-4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-4,y=7$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-7x-2y=14,6x+6y=18$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{7}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{1}{15}\\\frac{1}{5}&\frac{7}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 14-\frac{1}{15}\times 18\\\frac{1}{5}\times 14+\frac{7}{30}\times 18\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-4,y=7$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-7x-2y=14,6x+6y=18$$

لجعل -7x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -7.

$$6\left(-7\right)x+6\left(-2\right)y=6\times 14,-7\times 6x-7\times 6y=-7\times 18$$

تبسيط.

$$-42x-12y=84,-42x-42y=-126$$

اطرح -42x-42y=-126 من -42x-12y=84 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-42x+42x-12y+42y=84+126$$

اجمع -42x مع 42x. حذف الحدين -42x و42x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-12y+42y=84+126$$

اجمع -12y مع 42y.

$$30y=84+126$$

اجمع 84 مع 126.

$$30y=210$$

قسمة طرفي المعادلة على 30.

$$y=7$$

عوّض عن y بالقيمة 7 في 6x+6y=18. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x+6\times 7=18$$

اضرب 6 في 7.

$$6x+42=18$$

اطرح 42 من طرفي المعادلة.

$$6x=-24$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=-4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-4,y=7$$