حل {l}{-5x+y=-12}{5y=10x-15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 5 x + y = - 12 } \\ { 5 y = 10 x - 15 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 10x من الطرفين.

$$5y-10x=-15$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-5x+y=-12$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$-5x=-y-12$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-12\right)$$

اضرب -\frac{1}{5} في -y-12.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{12+y}{5} في المعادلة الأخرى، -10x+5y=-15.

$$-10\left(\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}\right)+5y=-15$$

اضرب -10 في \frac{12+y}{5}.

$$-2y-24+5y=-15$$

اجمع -2y مع 5y.

$$3y-24=-15$$

أضف 24 إلى طرفي المعادلة.

$$3y=9$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{5}\times 3+\frac{12}{5}$$

اضرب \frac{1}{5} في 3.

$$x=\frac{3+12}{5}$$

اجمع \frac{12}{5} مع \frac{3}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 10x من الطرفين.

$$5y-10x=-15$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{1}{-5\times 5-\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{15}\left(-15\right)\\-\frac{2}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=3$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 10x من الطرفين.

$$5y-10x=-15$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

لجعل -5x و-10x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -10 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -5.

$$-10\left(-5\right)x-10y=-10\left(-12\right),-5\left(-10\right)x-5\times 5y=-5\left(-15\right)$$

تبسيط.

$$50x-10y=120,50x-25y=75$$

اطرح 50x-25y=75 من 50x-10y=120 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$50x-50x-10y+25y=120-75$$

اجمع 50x مع -50x. حذف الحدين 50x و-50x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-10y+25y=120-75$$

اجمع -10y مع 25y.

$$15y=120-75$$

اجمع 120 مع -75.

$$15y=45$$

قسمة طرفي المعادلة على 15.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في -10x+5y=-15. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-10x+5\times 3=-15$$

اضرب 5 في 3.

$$-10x+15=-15$$

اطرح 15 من طرفي المعادلة.

$$-10x=-30$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=3$$