حل {l}{-4x-2y=-16}{7x-5y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 4 x - 2 y = - 16 } \\ { 7 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-4x-2y=-16$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$-4x=2y-16$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(2y-16\right)$$

اضرب -\frac{1}{4} في -16+2y.

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{2}+4 في المعادلة الأخرى، 7x-5y=11.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+4\right)-5y=11$$

اضرب 7 في -\frac{y}{2}+4.

$$-\frac{7}{2}y+28-5y=11$$

اجمع -\frac{7y}{2} مع -5y.

$$-\frac{17}{2}y+28=11$$

اطرح 28 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{17}{2}y=-17$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{17}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-\frac{1}{2}y+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

اضرب -\frac{1}{2} في 2.

$$x=-1+4$$

اجمع 4 مع -1.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{4}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{34}&\frac{1}{17}\\-\frac{7}{34}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{34}\left(-16\right)+\frac{1}{17}\times 11\\-\frac{7}{34}\left(-16\right)-\frac{2}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

لجعل -4x و7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -4.

$$7\left(-4\right)x+7\left(-2\right)y=7\left(-16\right),-4\times 7x-4\left(-5\right)y=-4\times 11$$

تبسيط.

$$-28x-14y=-112,-28x+20y=-44$$

اطرح -28x+20y=-44 من -28x-14y=-112 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-28x+28x-14y-20y=-112+44$$

اجمع -28x مع 28x. حذف الحدين -28x و28x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-14y-20y=-112+44$$

اجمع -14y مع -20y.

$$-34y=-112+44$$

اجمع -112 مع 44.

$$-34y=-68$$

قسمة طرفي المعادلة على -34.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في 7x-5y=11. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$7x-5\times 2=11$$

اضرب -5 في 2.

$$7x-10=11$$

أضف 10 إلى طرفي المعادلة.

$$7x=21$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=2$$