حل {l}{-4x+3y=13}{15x+3y=-6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 4 x + 3 y = 13 } \\ { 15 x + 3 y = - 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-4x+3y=13,15x+3y=-6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-4x+3y=13$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$-4x=-3y+13$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-3y+13\right)$$

اضرب -\frac{1}{4} في -3y+13.

$$x=\frac{3}{4}y-\frac{13}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y-13}{4} في المعادلة الأخرى، 15x+3y=-6.

$$15\left(\frac{3}{4}y-\frac{13}{4}\right)+3y=-6$$

اضرب 15 في \frac{3y-13}{4}.

$$\frac{45}{4}y-\frac{195}{4}+3y=-6$$

اجمع \frac{45y}{4} مع 3y.

$$\frac{57}{4}y-\frac{195}{4}=-6$$

أضف \frac{195}{4} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{57}{4}y=\frac{171}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{57}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في x=\frac{3}{4}y-\frac{13}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{4}\times 3-\frac{13}{4}$$

اضرب \frac{3}{4} في 3.

$$x=\frac{9-13}{4}$$

اجمع -\frac{13}{4} مع \frac{9}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-4x+3y=13,15x+3y=-6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-4\times 3-3\times 15}&-\frac{3}{-4\times 3-3\times 15}\\-\frac{15}{-4\times 3-3\times 15}&-\frac{4}{-4\times 3-3\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{5}{19}&\frac{4}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\times 13+\frac{1}{19}\left(-6\right)\\\frac{5}{19}\times 13+\frac{4}{57}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-4x+3y=13,15x+3y=-6$$

اطرح 15x+3y=-6 من -4x+3y=13 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-4x-15x+3y-3y=13+6$$

اجمع 3y مع -3y. حذف الحدين 3y و-3y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4x-15x=13+6$$

اجمع -4x مع -15x.

$$-19x=13+6$$

اجمع 13 مع 6.

$$-19x=19$$

قسمة طرفي المعادلة على -19.

$$x=-1$$

عوّض عن x بالقيمة -1 في 15x+3y=-6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$15\left(-1\right)+3y=-6$$

اضرب 15 في -1.

$$-15+3y=-6$$

أضف 15 إلى طرفي المعادلة.

$$3y=9$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=3$$