حل {l}{-3x+5y=-16}{-5x-4y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 x + 5 y = - 16 } \\ { - 5 x - 4 y = - 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-3x+5y=-16,-5x-4y=-2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-3x+5y=-16$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$-3x=-5y-16$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-5y-16\right)$$

اضرب -\frac{1}{3} في -5y-16.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{16}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5y+16}{3} في المعادلة الأخرى، -5x-4y=-2.

$$-5\left(\frac{5}{3}y+\frac{16}{3}\right)-4y=-2$$

اضرب -5 في \frac{5y+16}{3}.

$$-\frac{25}{3}y-\frac{80}{3}-4y=-2$$

اجمع -\frac{25y}{3} مع -4y.

$$-\frac{37}{3}y-\frac{80}{3}=-2$$

أضف \frac{80}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{37}{3}y=\frac{74}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{37}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=\frac{5}{3}y+\frac{16}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2\right)+\frac{16}{3}$$

اضرب \frac{5}{3} في -2.

$$x=\frac{-10+16}{3}$$

اجمع \frac{16}{3} مع -\frac{10}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-3x+5y=-16,-5x-4y=-2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-3\left(-4\right)-5\left(-5\right)}&-\frac{5}{-3\left(-4\right)-5\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-4\right)-5\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-4\right)-5\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{37}&-\frac{5}{37}\\\frac{5}{37}&-\frac{3}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{37}\left(-16\right)-\frac{5}{37}\left(-2\right)\\\frac{5}{37}\left(-16\right)-\frac{3}{37}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-3x+5y=-16,-5x-4y=-2$$

لجعل -3x و-5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -3.

$$-5\left(-3\right)x-5\times 5y=-5\left(-16\right),-3\left(-5\right)x-3\left(-4\right)y=-3\left(-2\right)$$

تبسيط.

$$15x-25y=80,15x+12y=6$$

اطرح 15x+12y=6 من 15x-25y=80 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$15x-15x-25y-12y=80-6$$

اجمع 15x مع -15x. حذف الحدين 15x و-15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-25y-12y=80-6$$

اجمع -25y مع -12y.

$$-37y=80-6$$

اجمع 80 مع -6.

$$-37y=74$$

قسمة طرفي المعادلة على -37.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في -5x-4y=-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-5x-4\left(-2\right)=-2$$

اضرب -4 في -2.

$$-5x+8=-2$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$-5x=-10$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-2$$