حل {l}{-2x+3y=9}{7x-9y=-31}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 2 x + 3 y = 9 } \\ { 7 x - 9 y = - 31 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-4$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-2x+3y=9,7x-9y=-31$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-2x+3y=9$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$-2x=-3y+9$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y+9\right)$$

اضرب -\frac{1}{2} في -3y+9.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-9+3y}{2} في المعادلة الأخرى، 7x-9y=-31.

$$7\left(\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}\right)-9y=-31$$

اضرب 7 في \frac{-9+3y}{2}.

$$\frac{21}{2}y-\frac{63}{2}-9y=-31$$

اجمع \frac{21y}{2} مع -9y.

$$\frac{3}{2}y-\frac{63}{2}=-31$$

أضف \frac{63}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{2}y=\frac{1}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{1}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{3} في x=\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{1}{3}-\frac{9}{2}$$

اضرب \frac{3}{2} في \frac{1}{3} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{1-9}{2}$$

اجمع -\frac{9}{2} مع \frac{1}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-4,y=\frac{1}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-2x+3y=9,7x-9y=-31$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-2\left(-9\right)-3\times 7}&-\frac{3}{-2\left(-9\right)-3\times 7}\\-\frac{7}{-2\left(-9\right)-3\times 7}&-\frac{2}{-2\left(-9\right)-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{7}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 9-31\\\frac{7}{3}\times 9+\frac{2}{3}\left(-31\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-4,y=\frac{1}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-2x+3y=9,7x-9y=-31$$

لجعل -2x و7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -2.

$$7\left(-2\right)x+7\times 3y=7\times 9,-2\times 7x-2\left(-9\right)y=-2\left(-31\right)$$

تبسيط.

$$-14x+21y=63,-14x+18y=62$$

اطرح -14x+18y=62 من -14x+21y=63 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-14x+14x+21y-18y=63-62$$

اجمع -14x مع 14x. حذف الحدين -14x و14x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$21y-18y=63-62$$

اجمع 21y مع -18y.

$$3y=63-62$$

اجمع 63 مع -62.

$$3y=1$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=\frac{1}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{3} في 7x-9y=-31. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$7x-9\times \frac{1}{3}=-31$$

اضرب -9 في \frac{1}{3}.

$$7x-3=-31$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$7x=-28$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=-4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-4,y=\frac{1}{3}$$