حل {l}{(x-2)^2-2(x-2y)=1-(3-x)(3+x)}{2x+y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ^ { 2 } - 2 ( x - 2 y ) = 1 - ( 3 - x ) ( 3 + x ) } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=0$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} لتوسيع \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -2 في x-2y.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

اجمع -4x مع -2x لتحصل على -6x.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

ضع في الحسبان \left(3-x\right)\left(3+x\right). يمكن تحويل عملية الضرب إلى فرق بين المربعات باستخدام القاعدة: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. مربع 3.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

لمعرفة مقابل 9-x^{2}، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

اطرح 9 من 1 لتحصل على -8.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

اطرح x^{2} من الطرفين.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

اجمع x^{2} مع -x^{2} لتحصل على 0.

$$-6x+4+4y=-8$$

اطرح 4 من الطرفين.

$$-6x+4y=-8-4$$

اطرح 4 من -8 لتحصل على -12.

$$-6x+4y=-12$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-6x+4y=-12$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$-6x=-4y-12$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-4y-12\right)$$

اضرب -\frac{1}{6} في -4y-12.

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{2y}{3}+2 في المعادلة الأخرى، 2x+y=4.

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)+y=4$$

اضرب 2 في \frac{2y}{3}+2.

$$\frac{4}{3}y+4+y=4$$

اجمع \frac{4y}{3} مع y.

$$\frac{7}{3}y+4=4$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$\frac{7}{3}y=0$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{7}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في x=\frac{2}{3}y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=0$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} لتوسيع \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -2 في x-2y.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

اجمع -4x مع -2x لتحصل على -6x.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

ضع في الحسبان \left(3-x\right)\left(3+x\right). يمكن تحويل عملية الضرب إلى فرق بين المربعات باستخدام القاعدة: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. مربع 3.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

لمعرفة مقابل 9-x^{2}، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

اطرح 9 من 1 لتحصل على -8.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

اطرح x^{2} من الطرفين.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

اجمع x^{2} مع -x^{2} لتحصل على 0.

$$-6x+4+4y=-8$$

اطرح 4 من الطرفين.

$$-6x+4y=-8-4$$

اطرح 4 من -8 لتحصل على -12.

$$-6x+4y=-12$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-6-4\times 2}&-\frac{4}{-6-4\times 2}\\-\frac{2}{-6-4\times 2}&-\frac{6}{-6-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\times 4\\\frac{1}{7}\left(-12\right)+\frac{3}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=0$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} لتوسيع \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -2 في x-2y.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

اجمع -4x مع -2x لتحصل على -6x.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

ضع في الحسبان \left(3-x\right)\left(3+x\right). يمكن تحويل عملية الضرب إلى فرق بين المربعات باستخدام القاعدة: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. مربع 3.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

لمعرفة مقابل 9-x^{2}، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

اطرح 9 من 1 لتحصل على -8.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

اطرح x^{2} من الطرفين.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

اجمع x^{2} مع -x^{2} لتحصل على 0.

$$-6x+4+4y=-8$$

اطرح 4 من الطرفين.

$$-6x+4y=-8-4$$

اطرح 4 من -8 لتحصل على -12.

$$-6x+4y=-12$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

لجعل -6x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -6.

$$2\left(-6\right)x+2\times 4y=2\left(-12\right),-6\times 2x-6y=-6\times 4$$

تبسيط.

$$-12x+8y=-24,-12x-6y=-24$$

اطرح -12x-6y=-24 من -12x+8y=-24 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-12x+12x+8y+6y=-24+24$$

اجمع -12x مع 12x. حذف الحدين -12x و12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$8y+6y=-24+24$$

اجمع 8y مع 6y.

$$14y=-24+24$$

اجمع -24 مع 24.

$$14y=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 14.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في 2x+y=4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x=4$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=0$$