حل {l}{(x+2)^2+1=x^2+5y}{3x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x + 2 ) ^ { 2 } + 1 = x ^ { 2 } + 5 y } \\ { 3 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=0$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} لتوسيع \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

اجمع 4 مع 1 لتحصل على 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

اطرح x^{2} من الطرفين.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

اجمع x^{2} مع -x^{2} لتحصل على 0.

$$4x+5=5y$$

اطرح 5y من الطرفين.

$$4x+5-5y=0$$

اطرح 5 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$4x-5y=-5$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x-5y=-5$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$4x=5y-5$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-5\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -5+5y.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-5+5y}{4} في المعادلة الأخرى، 3x+y=1.

$$3\left(\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}\right)+y=1$$

اضرب 3 في \frac{-5+5y}{4}.

$$\frac{15}{4}y-\frac{15}{4}+y=1$$

اجمع \frac{15y}{4} مع y.

$$\frac{19}{4}y-\frac{15}{4}=1$$

أضف \frac{15}{4} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{19}{4}y=\frac{19}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{19}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5-5}{4}$$

اجمع -\frac{5}{4} مع \frac{5}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} لتوسيع \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

اجمع 4 مع 1 لتحصل على 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

اطرح x^{2} من الطرفين.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

اجمع x^{2} مع -x^{2} لتحصل على 0.

$$4x+5=5y$$

اطرح 5y من الطرفين.

$$4x+5-5y=0$$

اطرح 5 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$4x-5y=-5$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-5\right)+\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}\left(-5\right)+\frac{4}{19}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=0,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} لتوسيع \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

اجمع 4 مع 1 لتحصل على 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

اطرح x^{2} من الطرفين.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

اجمع x^{2} مع -x^{2} لتحصل على 0.

$$4x+5=5y$$

اطرح 5y من الطرفين.

$$4x+5-5y=0$$

اطرح 5 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$4x-5y=-5$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

لجعل 4x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\left(-5\right),4\times 3x+4y=4$$

تبسيط.

$$12x-15y=-15,12x+4y=4$$

اطرح 12x+4y=4 من 12x-15y=-15 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x-15y-4y=-15-4$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-15y-4y=-15-4$$

اجمع -15y مع -4y.

$$-19y=-15-4$$

اجمع -15 مع -4.

$$-19y=-19$$

قسمة طرفي المعادلة على -19.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في 3x+y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+1=1$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$3x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=1$$