حل {l}{(a+2012)-2(b-2013)=3}{3(a+2012)+4(b-2013)=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( a + 2012 ) - 2 ( b - 2013 ) = 3 } \\ { 3 ( a + 2012 ) + 4 ( b - 2013 ) = 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a = -\frac{10049}{5} = -2009\frac{4}{5} = -2009.8$$

$$b = \frac{10063}{5} = 2012\frac{3}{5} = 2012.6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

اضرب -2 في b-2013.

$$a-2b+4026+2012=3$$

اجمع 4026 مع 2012.

$$a-2b+6038=3$$

اطرح 6038 من طرفي المعادلة.

$$a-2b=-6035$$

أضف 2b إلى طرفي المعادلة.

$$a=2b-6035$$

عوّض عن a بالقيمة 2b-6035 في المعادلة الأخرى، 3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5.

$$3\left(2b-6035+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

اجمع -6035 مع 2012.

$$3\left(2b-4023\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

اضرب 3 في 2b-4023.

$$6b-12069+4\left(b-2013\right)=5$$

اضرب 4 في b-2013.

$$6b-12069+4b-8052=5$$

اجمع 6b مع 4b.

$$10b-12069-8052=5$$

اجمع -12069 مع -8052.

$$10b-20121=5$$

أضف 20121 إلى طرفي المعادلة.

$$10b=20126$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$b=\frac{10063}{5}$$

عوّض عن b بالقيمة \frac{10063}{5} في a=2b-6035. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=2\times \frac{10063}{5}-6035$$

اضرب 2 في \frac{10063}{5}.

$$a=\frac{20126}{5}-6035$$

اجمع -6035 مع \frac{20126}{5}.

$$a=-\frac{10049}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

بسّط المعادلة الأولى لتصبح في الصيغة العامة.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

اضرب -2 في b-2013.

$$a-2b+4026+2012=3$$

اجمع 4026 مع 2012.

$$a-2b+6038=3$$

اطرح 6038 من طرفي المعادلة.

$$a-2b=-6035$$

بسّط المعادلة الثانية لتصبح في الصيغة العامة.

$$3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

اضرب 3 في a+2012.

$$3a+6036+4\left(b-2013\right)=5$$

اضرب 4 في b-2013.

$$3a+6036+4b-8052=5$$

اجمع 6036 مع -8052.

$$3a+4b-2016=5$$

أضف 2016 إلى طرفي المعادلة.

$$3a+4b=2021$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-6035\right)+\frac{1}{5}\times 2021\\-\frac{3}{10}\left(-6035\right)+\frac{1}{10}\times 2021\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10049}{5}\\\frac{10063}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$