حل {l}{x/6-y=-1}{3x-2y=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 6 } - y = - 1 } \\ { 3 x - 2 y = 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$\frac{1}{6}x-y=-1$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{6}x=y-1$$

ضرب طرفي المعادلة في 6.

$$x=6\left(y-1\right)$$

اضرب 6 في y-1.

$$x=6y-6$$

عوّض عن x بالقيمة -6+6y في المعادلة الأخرى، 3x-2y=6.

$$3\left(6y-6\right)-2y=6$$

اضرب 3 في -6+6y.

$$18y-18-2y=6$$

اجمع 18y مع -2y.

$$16y-18=6$$

أضف 18 إلى طرفي المعادلة.

$$16y=24$$

قسمة طرفي المعادلة على 16.

$$y=\frac{3}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3}{2} في x=6y-6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=6\times \frac{3}{2}-6$$

اضرب 6 في \frac{3}{2}.

$$x=9-6$$

اجمع -6 مع 9.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=\frac{3}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}&\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{3}{8}\\-\frac{9}{8}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{3}{8}\times 6\\-\frac{9}{8}\left(-1\right)+\frac{1}{16}\times 6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=\frac{3}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6$$

لجعل \frac{x}{6} و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في \frac{1}{6}.

$$3\times \frac{1}{6}x+3\left(-1\right)y=3\left(-1\right),\frac{1}{6}\times 3x+\frac{1}{6}\left(-2\right)y=\frac{1}{6}\times 6$$

تبسيط.

$$\frac{1}{2}x-3y=-3,\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1$$

اطرح \frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1 من \frac{1}{2}x-3y=-3 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x-3y+\frac{1}{3}y=-3-1$$

اجمع \frac{x}{2} مع -\frac{x}{2}. حذف الحدين \frac{x}{2} و-\frac{x}{2}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3y+\frac{1}{3}y=-3-1$$

اجمع -3y مع \frac{y}{3}.

$$-\frac{8}{3}y=-3-1$$

اجمع -3 مع -1.

$$-\frac{8}{3}y=-4$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{8}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{3}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3}{2} في 3x-2y=6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-2\times \frac{3}{2}=6$$

اضرب -2 في \frac{3}{2}.

$$3x-3=6$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=9$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=\frac{3}{2}$$