حل {l}{x/6-y/5=-4}{x/4-y/6=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 6 } - \frac { y } { 5 } = - 4 } \\ { \frac { x } { 4 } - \frac { y } { 6 } = - 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=12$$

$$y=30$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 30، أقل مضاعف مشترك لـ 6,5.

$$5x-6y=-120$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 12، أقل مضاعف مشترك لـ 4,6.

$$3x-2y=-24$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-6y=-120$$

أضف 6y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=6y-120$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-120\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -120+6y.

$$x=\frac{6}{5}y-24$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{6y}{5}-24 في المعادلة الأخرى، 3x-2y=-24.

$$3\left(\frac{6}{5}y-24\right)-2y=-24$$

اضرب 3 في \frac{6y}{5}-24.

$$\frac{18}{5}y-72-2y=-24$$

اجمع \frac{18y}{5} مع -2y.

$$\frac{8}{5}y-72=-24$$

أضف 72 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{8}{5}y=48$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{8}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=30$$

عوّض عن y بالقيمة 30 في x=\frac{6}{5}y-24. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{6}{5}\times 30-24$$

اضرب \frac{6}{5} في 30.

$$x=36-24$$

اجمع -24 مع 36.

$$x=12$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=12,y=30$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 30، أقل مضاعف مشترك لـ 6,5.

$$5x-6y=-120$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 12، أقل مضاعف مشترك لـ 4,6.

$$3x-2y=-24$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-120\right)+\frac{3}{4}\left(-24\right)\\-\frac{3}{8}\left(-120\right)+\frac{5}{8}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\30\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=12,y=30$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 30، أقل مضاعف مشترك لـ 6,5.

$$5x-6y=-120$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 12، أقل مضاعف مشترك لـ 4,6.

$$3x-2y=-24$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

لجعل 5x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\left(-120\right),5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\left(-24\right)$$

تبسيط.

$$15x-18y=-360,15x-10y=-120$$

اطرح 15x-10y=-120 من 15x-18y=-360 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$15x-15x-18y+10y=-360+120$$

اجمع 15x مع -15x. حذف الحدين 15x و-15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-18y+10y=-360+120$$

اجمع -18y مع 10y.

$$-8y=-360+120$$

اجمع -360 مع 120.

$$-8y=-240$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$y=30$$

عوّض عن y بالقيمة 30 في 3x-2y=-24. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-2\times 30=-24$$

اضرب -2 في 30.

$$3x-60=-24$$

أضف 60 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=36$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=12$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=12,y=30$$