حل {l}{x/4+y/2=7}{x/3-y/4=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 2 } = 7 } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 4 } = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=12$$

$$y=8$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 4، أقل مضاعف مشترك لـ 4,2.

$$x+2y=28$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 12، أقل مضاعف مشترك لـ 3,4.

$$4x-3y=24$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+2y=28$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$x=-2y+28$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+28 في المعادلة الأخرى، 4x-3y=24.

$$4\left(-2y+28\right)-3y=24$$

اضرب 4 في -2y+28.

$$-8y+112-3y=24$$

اجمع -8y مع -3y.

$$-11y+112=24$$

اطرح 112 من طرفي المعادلة.

$$-11y=-88$$

قسمة طرفي المعادلة على -11.

$$y=8$$

عوّض عن y بالقيمة 8 في x=-2y+28. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\times 8+28$$

اضرب -2 في 8.

$$x=-16+28$$

اجمع 28 مع -16.

$$x=12$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=12,y=8$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 4، أقل مضاعف مشترك لـ 4,2.

$$x+2y=28$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 12، أقل مضاعف مشترك لـ 3,4.

$$4x-3y=24$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 4}&-\frac{2}{-3-2\times 4}\\-\frac{4}{-3-2\times 4}&\frac{1}{-3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 28+\frac{2}{11}\times 24\\\frac{4}{11}\times 28-\frac{1}{11}\times 24\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=12,y=8$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 4، أقل مضاعف مشترك لـ 4,2.

$$x+2y=28$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 12، أقل مضاعف مشترك لـ 3,4.

$$4x-3y=24$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

لجعل x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$4x+4\times 2y=4\times 28,4x-3y=24$$

تبسيط.

$$4x+8y=112,4x-3y=24$$

اطرح 4x-3y=24 من 4x+8y=112 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x+8y+3y=112-24$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$8y+3y=112-24$$

اجمع 8y مع 3y.

$$11y=112-24$$

اجمع 112 مع -24.

$$11y=88$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$y=8$$

عوّض عن y بالقيمة 8 في 4x-3y=24. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x-3\times 8=24$$

اضرب -3 في 8.

$$4x-24=24$$

أضف 24 إلى طرفي المعادلة.

$$4x=48$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=12$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=12,y=8$$