حل {l}{x/3-y/2=4}{x+y/12=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 4 } \\ { x + \frac { y } { 12 } = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{48}{19} = 2\frac{10}{19} \approx 2.526315789$$

$$y = -\frac{120}{19} = -6\frac{6}{19} \approx -6.315789474$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 3,2.

$$2x-3y=24$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 12.

$$12x+y=24$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-3y=24$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=3y+24$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+24\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 24+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+12$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y}{2}+12 في المعادلة الأخرى، 12x+y=24.

$$12\left(\frac{3}{2}y+12\right)+y=24$$

اضرب 12 في \frac{3y}{2}+12.

$$18y+144+y=24$$

اجمع 18y مع y.

$$19y+144=24$$

اطرح 144 من طرفي المعادلة.

$$19y=-120$$

قسمة طرفي المعادلة على 19.

$$y=-\frac{120}{19}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{120}{19} في x=\frac{3}{2}y+12. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{19}\right)+12$$

اضرب \frac{3}{2} في -\frac{120}{19} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{180}{19}+12$$

اجمع 12 مع -\frac{180}{19}.

$$x=\frac{48}{19}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 3,2.

$$2x-3y=24$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 12.

$$12x+y=24$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{2-\left(-3\times 12\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{6}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}\times 24+\frac{3}{38}\times 24\\-\frac{6}{19}\times 24+\frac{1}{19}\times 24\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{19}\\-\frac{120}{19}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 3,2.

$$2x-3y=24$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 12.

$$12x+y=24$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

لجعل 2x و12x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 12 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$12\times 2x+12\left(-3\right)y=12\times 24,2\times 12x+2y=2\times 24$$

تبسيط.

$$24x-36y=288,24x+2y=48$$

اطرح 24x+2y=48 من 24x-36y=288 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$24x-24x-36y-2y=288-48$$

اجمع 24x مع -24x. حذف الحدين 24x و-24x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-36y-2y=288-48$$

اجمع -36y مع -2y.

$$-38y=288-48$$

اجمع 288 مع -48.

$$-38y=240$$

قسمة طرفي المعادلة على -38.

$$y=-\frac{120}{19}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{120}{19} في 12x+y=24. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$12x-\frac{120}{19}=24$$

أضف \frac{120}{19} إلى طرفي المعادلة.

$$12x=\frac{576}{19}$$

قسمة طرفي المعادلة على 12.

$$x=\frac{48}{19}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$