حل {l}{x/3+y/4=2/2-6/6}{frac{2x+y}{5}-frac{y-2}{2}=frac{x+y-3}{4}-frac{y-x-1}{10}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 2 } { 2 } - \frac { 6 } { 6 } } \\ { \frac { 2 x + y } { 5 } - \frac { y - 2 } { 2 } = \frac { x + y - 3 } { 4 } - \frac { y - x - 1 } { 10 } } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{33}{13} = -2\frac{7}{13} \approx -2.538461538$$

$$y = \frac{44}{13} = 3\frac{5}{13} \approx 3.384615385$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 12، أقل مضاعف مشترك لـ 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

إجراء عمليات الضرب.

$$4x+3y=12-12$$

اطرح 12 من 12 لتحصل على 0.

$$4x+3y=0$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 20، أقل مضاعف مشترك لـ 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في 2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -10 في y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

اجمع 4y مع -10y لتحصل على -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 5 في x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -2 في y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

اجمع 5y مع -2y لتحصل على 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

اجمع 5x مع 2x لتحصل على 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

اجمع -15 مع 2 لتحصل على -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

اطرح 7x من الطرفين.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

اجمع 8x مع -7x لتحصل على x.

$$x-6y+20=3y-13$$

اطرح 3y من الطرفين.

$$x-6y+20-3y=-13$$

اجمع -6y مع -3y لتحصل على -9y.

$$x-9y+20=-13$$

اطرح 20 من الطرفين.

$$x-9y=-13-20$$

اطرح 20 من -13 لتحصل على -33.

$$x-9y=-33$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+3y=0$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$4x=-3y$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3\right)y$$

اضرب \frac{1}{4} في -3y.

$$x=-\frac{3}{4}y$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{4} في المعادلة الأخرى، x-9y=-33.

$$-\frac{3}{4}y-9y=-33$$

اجمع -\frac{3y}{4} مع -9y.

$$-\frac{39}{4}y=-33$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{39}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{44}{13}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{44}{13} في x=-\frac{3}{4}y. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{44}{13}$$

اضرب -\frac{3}{4} في \frac{44}{13} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{33}{13}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 12، أقل مضاعف مشترك لـ 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

إجراء عمليات الضرب.

$$4x+3y=12-12$$

اطرح 12 من 12 لتحصل على 0.

$$4x+3y=0$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 20، أقل مضاعف مشترك لـ 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في 2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -10 في y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

اجمع 4y مع -10y لتحصل على -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 5 في x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -2 في y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

اجمع 5y مع -2y لتحصل على 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

اجمع 5x مع 2x لتحصل على 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

اجمع -15 مع 2 لتحصل على -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

اطرح 7x من الطرفين.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

اجمع 8x مع -7x لتحصل على x.

$$x-6y+20=3y-13$$

اطرح 3y من الطرفين.

$$x-6y+20-3y=-13$$

اجمع -6y مع -3y لتحصل على -9y.

$$x-9y+20=-13$$

اطرح 20 من الطرفين.

$$x-9y=-13-20$$

اطرح 20 من -13 لتحصل على -33.

$$x-9y=-33$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{4\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{4\left(-9\right)-3}&\frac{4}{4\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{1}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-33\right)\\-\frac{4}{39}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{33}{13}\\\frac{44}{13}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 12، أقل مضاعف مشترك لـ 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

إجراء عمليات الضرب.

$$4x+3y=12-12$$

اطرح 12 من 12 لتحصل على 0.

$$4x+3y=0$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 20، أقل مضاعف مشترك لـ 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في 2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -10 في y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

اجمع 4y مع -10y لتحصل على -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 5 في x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -2 في y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

اجمع 5y مع -2y لتحصل على 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

اجمع 5x مع 2x لتحصل على 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

اجمع -15 مع 2 لتحصل على -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

اطرح 7x من الطرفين.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

اجمع 8x مع -7x لتحصل على x.

$$x-6y+20=3y-13$$

اطرح 3y من الطرفين.

$$x-6y+20-3y=-13$$

اجمع -6y مع -3y لتحصل على -9y.

$$x-9y+20=-13$$

اطرح 20 من الطرفين.

$$x-9y=-13-20$$

اطرح 20 من -13 لتحصل على -33.

$$x-9y=-33$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

لجعل 4x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$4x+3y=0,4x+4\left(-9\right)y=4\left(-33\right)$$

تبسيط.

$$4x+3y=0,4x-36y=-132$$

اطرح 4x-36y=-132 من 4x+3y=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x+3y+36y=132$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y+36y=132$$

اجمع 3y مع 36y.

$$39y=132$$

قسمة طرفي المعادلة على 39.

$$y=\frac{44}{13}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{44}{13} في x-9y=-33. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-9\times \frac{44}{13}=-33$$

اضرب -9 في \frac{44}{13}.

$$x-\frac{396}{13}=-33$$

أضف \frac{396}{13} إلى طرفي المعادلة.

$$x=-\frac{33}{13}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$