حل {l}{x/3+y/2=6}{2(3x-4)-3(y-1)=43}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 2 } = 6 } \\ { 2 ( 3 x - 4 ) - 3 ( y - 1 ) = 43 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{21}{2} = 10\frac{1}{2} = 10.5$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=6,2\left(3x-4\right)-3\left(y-1\right)=43$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=6$$

اطرح \frac{y}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{3}x=-\frac{1}{2}y+6$$

ضرب طرفي المعادلة في 3.

$$x=3\left(-\frac{1}{2}y+6\right)$$

اضرب 3 في -\frac{y}{2}+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+18$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{2}+18 في المعادلة الأخرى، 2\left(3x-4\right)-3\left(y-1\right)=43.

$$2\left(3\left(-\frac{3}{2}y+18\right)-4\right)-3\left(y-1\right)=43$$

اضرب 3 في -\frac{3y}{2}+18.

$$2\left(-\frac{9}{2}y+54-4\right)-3\left(y-1\right)=43$$

اجمع 54 مع -4.

$$2\left(-\frac{9}{2}y+50\right)-3\left(y-1\right)=43$$

اضرب 2 في -\frac{9y}{2}+50.

$$-9y+100-3\left(y-1\right)=43$$

اضرب -3 في y-1.

$$-9y+100-3y+3=43$$

اجمع -9y مع -3y.

$$-12y+100+3=43$$

اجمع 100 مع 3.

$$-12y+103=43$$

اطرح 103 من طرفي المعادلة.

$$-12y=-60$$

قسمة طرفي المعادلة على -12.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=-\frac{3}{2}y+18. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times 5+18$$

اضرب -\frac{3}{2} في 5.

$$x=-\frac{15}{2}+18$$

اجمع 18 مع -\frac{15}{2}.

$$x=\frac{21}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{21}{2},y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=6,2\left(3x-4\right)-3\left(y-1\right)=43$$

بسّط المعادلة الثانية لتصبح في الصيغة العامة.

$$2\left(3x-4\right)-3\left(y-1\right)=43$$

اضرب 2 في 3x-4.

$$6x-8-3\left(y-1\right)=43$$

اضرب -3 في y-1.

$$6x-8-3y+3=43$$

اجمع -8 مع 3.

$$6x-3y-5=43$$

أضف 5 إلى طرفي المعادلة.

$$6x-3y=48$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\48\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\6&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\48\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\48\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\48\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{\frac{1}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\times 6}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\times 6}\\-\frac{6}{\frac{1}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\times 6}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\48\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{8}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\48\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 6+\frac{1}{8}\times 48\\\frac{3}{2}\times 6-\frac{1}{12}\times 48\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{2}\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{21}{2},y=5$$