حل {l}{x/2+y/3=13/2}{x/3-frac{y}{4}=frac{3}{2}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = \frac { 13 } { 2 } } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 4 } = \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=9$$

$$y=6$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 2,3.

$$3x+2y=39$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 12، أقل مضاعف مشترك لـ 3,4,2.

$$4x-3y=18$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+2y=39,4x-3y=18$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+2y=39$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$3x=-2y+39$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+39\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -2y+39.

$$x=-\frac{2}{3}y+13$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{2y}{3}+13 في المعادلة الأخرى، 4x-3y=18.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+13\right)-3y=18$$

اضرب 4 في -\frac{2y}{3}+13.

$$-\frac{8}{3}y+52-3y=18$$

اجمع -\frac{8y}{3} مع -3y.

$$-\frac{17}{3}y+52=18$$

اطرح 52 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{17}{3}y=-34$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{17}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=6$$

عوّض عن y بالقيمة 6 في x=-\frac{2}{3}y+13. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{3}\times 6+13$$

اضرب -\frac{2}{3} في 6.

$$x=-4+13$$

اجمع 13 مع -4.

$$x=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=6$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 2,3.

$$3x+2y=39$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 12، أقل مضاعف مشترك لـ 3,4,2.

$$4x-3y=18$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+2y=39,4x-3y=18$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-2\times 4}&-\frac{2}{3\left(-3\right)-2\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-2\times 4}&\frac{3}{3\left(-3\right)-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{4}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\times 39+\frac{2}{17}\times 18\\\frac{4}{17}\times 39-\frac{3}{17}\times 18\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=9,y=6$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 2,3.

$$3x+2y=39$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 12، أقل مضاعف مشترك لـ 3,4,2.

$$4x-3y=18$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+2y=39,4x-3y=18$$

لجعل 3x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 39,3\times 4x+3\left(-3\right)y=3\times 18$$

تبسيط.

$$12x+8y=156,12x-9y=54$$

اطرح 12x-9y=54 من 12x+8y=156 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x+8y+9y=156-54$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$8y+9y=156-54$$

اجمع 8y مع 9y.

$$17y=156-54$$

اجمع 156 مع -54.

$$17y=102$$

قسمة طرفي المعادلة على 17.

$$y=6$$

عوّض عن y بالقيمة 6 في 4x-3y=18. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x-3\times 6=18$$

اضرب -3 في 6.

$$4x-18=18$$

أضف 18 إلى طرفي المعادلة.

$$4x=36$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=6$$