حل {l}{x^2/4+y^2/2=1}{x=my+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \\ { x = m y + 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}$$

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}$$

خطوات استخدام التعويض والصيغة التربيعية

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 4، أقل مضاعف مشترك لـ 4,2.

$$x^{2}+2y^{2}=4$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح my من الطرفين.

$$x-my=1$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+\left(-m\right)y=1,2y^{2}+x^{2}=4$$

أوجد قيمة x+\left(-m\right)y=1 لـ x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+\left(-m\right)y=1$$

اطرح \left(-m\right)y من طرفي المعادلة.

$$x=my+1$$

عوّض عن x بالقيمة my+1 في المعادلة الأخرى، 2y^{2}+x^{2}=4.

$$2y^{2}+\left(my+1\right)^{2}=4$$

مربع my+1.

$$2y^{2}+m^{2}y^{2}+2my+1=4$$

اجمع 2y^{2} مع m^{2}y^{2}.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my+1=4$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my-3=0$$

هذه المعادلة بالصيغة العامة: ax^{2}+bx+c=0. عوّض عن a بالقيمة 2+1m^{2} وعن b بالقيمة 1\times 1\times 2m وعن c بالقيمة -3 في الصيغة التربيعية، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{\left(2m\right)^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

مربع 1\times 1\times 2m.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

اضرب -4 في 2+1m^{2}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+\left(-4m^{2}-8\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

اضرب -8-4m^{2} في -3.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+12m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

اجمع 4m^{2} مع 24+12m^{2}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{16m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

استخدم الجذر التربيعي للعدد 24+16m^{2}.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

اضرب 2 في 2+1m^{2}.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}$$

حل المعادلة y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} الآن عندما يكون ± موجباً. اجمع -2m مع 2\sqrt{6+4m^{2}}.

$$y=\frac{2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

اقسم -2m+2\sqrt{6+4m^{2}} على 4+2m^{2}.

$$y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}$$

حل المعادلة y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} الآن عندما يكون ± سالباً. اطرح 2\sqrt{6+4m^{2}} من -2m.

$$y=\frac{-2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

اقسم -2m-2\sqrt{6+4m^{2}} على 4+2m^{2}.

$$y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

هناك حلان لـ y: \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} و-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}. عوّض عن y بالقيمة \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} في المعادلة x=my+1 لإيجاد الحل المقابل لـ x الذي يحقق المعادلتين.

$$x=m\times \frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}+1$$

اضرب m في \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}.

$$x=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m+1$$

اجمع m\times \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} مع 1.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m$$

الآن عوض عن y بالقيمة -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} في المعادلة x=my+1 وحل المعادلة لإيجاد الحل المقابل لـ x الذي يحقق المعادلتين.

$$x=m\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)+1$$

اضرب m في -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}.

$$x=\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m+1$$

اجمع m\left(-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}\right) مع 1.

$$x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m,y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}\text{ or }x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m,y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

حل مسائل x، y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}\text{; }x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}\text{, }&m\neq -\sqrt{2}i\text{ and }m\neq \sqrt{2}i\\x=\frac{5}{2}=2.5\text{, }y=\frac{3}{2m}\text{, }&m=-\sqrt{2}i\text{ or }m=\sqrt{2}i\end{matrix}\right.$$