حل {l}{x+y/8-y-x/2=1}{3x-1/6+y+3/3=frac{25}{6}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y } { 8 } - \frac { y - x } { 2 } = 1 } \\ { \frac { 3 x - 1 } { 6 } + \frac { y + 3 } { 3 } = \frac { 25 } { 6 } } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=4$$

$$y=4$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 8، أقل مضاعف مشترك لـ 8,2.

$$x+y-4\left(y-x\right)=8$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -4 في y-x.

$$x+y-4y+4x=8$$

اجمع y مع -4y لتحصل على -3y.

$$x-3y+4x=8$$

اجمع x مع 4x لتحصل على 5x.

$$5x-3y=8$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 6,3.

$$3x-1+2\left(y+3\right)=25$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في y+3.

$$3x-1+2y+6=25$$

اجمع -1 مع 6 لتحصل على 5.

$$3x+5+2y=25$$

اطرح 5 من الطرفين.

$$3x+2y=25-5$$

اطرح 5 من 25 لتحصل على 20.

$$3x+2y=20$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-3y=8$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=3y+8$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+8\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في 3y+8.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y+8}{5} في المعادلة الأخرى، 3x+2y=20.

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=20$$

اضرب 3 في \frac{3y+8}{5}.

$$\frac{9}{5}y+\frac{24}{5}+2y=20$$

اجمع \frac{9y}{5} مع 2y.

$$\frac{19}{5}y+\frac{24}{5}=20$$

اطرح \frac{24}{5} من طرفي المعادلة.

$$\frac{19}{5}y=\frac{76}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{19}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{5}\times 4+\frac{8}{5}$$

اضرب \frac{3}{5} في 4.

$$x=\frac{12+8}{5}$$

اجمع \frac{8}{5} مع \frac{12}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 8، أقل مضاعف مشترك لـ 8,2.

$$x+y-4\left(y-x\right)=8$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -4 في y-x.

$$x+y-4y+4x=8$$

اجمع y مع -4y لتحصل على -3y.

$$x-3y+4x=8$$

اجمع x مع 4x لتحصل على 5x.

$$5x-3y=8$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 6,3.

$$3x-1+2\left(y+3\right)=25$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في y+3.

$$3x-1+2y+6=25$$

اجمع -1 مع 6 لتحصل على 5.

$$3x+5+2y=25$$

اطرح 5 من الطرفين.

$$3x+2y=25-5$$

اطرح 5 من 25 لتحصل على 20.

$$3x+2y=20$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 8+\frac{3}{19}\times 20\\-\frac{3}{19}\times 8+\frac{5}{19}\times 20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=4,y=4$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 8، أقل مضاعف مشترك لـ 8,2.

$$x+y-4\left(y-x\right)=8$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -4 في y-x.

$$x+y-4y+4x=8$$

اجمع y مع -4y لتحصل على -3y.

$$x-3y+4x=8$$

اجمع x مع 4x لتحصل على 5x.

$$5x-3y=8$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 6,3.

$$3x-1+2\left(y+3\right)=25$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في y+3.

$$3x-1+2y+6=25$$

اجمع -1 مع 6 لتحصل على 5.

$$3x+5+2y=25$$

اطرح 5 من الطرفين.

$$3x+2y=25-5$$

اطرح 5 من 25 لتحصل على 20.

$$3x+2y=20$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

لجعل 5x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 20$$

تبسيط.

$$15x-9y=24,15x+10y=100$$

اطرح 15x+10y=100 من 15x-9y=24 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$15x-15x-9y-10y=24-100$$

اجمع 15x مع -15x. حذف الحدين 15x و-15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-9y-10y=24-100$$

اجمع -9y مع -10y.

$$-19y=24-100$$

اجمع 24 مع -100.

$$-19y=-76$$

قسمة طرفي المعادلة على -19.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في 3x+2y=20. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+2\times 4=20$$

اضرب 2 في 4.

$$3x+8=20$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$3x=12$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=4$$