حل {l}{x+y+2/3-y=2}{x/2+2y/3=x-4/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y + 2 } { 3 } - y = 2 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { 2 y } { 3 } = x - \frac { 4 } { 3 } } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=0$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 3.

$$x+y+2-3y=6$$

اجمع y مع -3y لتحصل على -2y.

$$x-2y+2=6$$

اطرح 2 من الطرفين.

$$x-2y=6-2$$

اطرح 2 من 6 لتحصل على 4.

$$x-2y=4$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

اضرب 2 في 2 لتحصل على 4.

$$3x+4y=6x-8$$

اطرح 6x من الطرفين.

$$3x+4y-6x=-8$$

اجمع 3x مع -6x لتحصل على -3x.

$$-3x+4y=-8$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-2y=4$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$x=2y+4$$

عوّض عن x بالقيمة 4+2y في المعادلة الأخرى، -3x+4y=-8.

$$-3\left(2y+4\right)+4y=-8$$

اضرب -3 في 4+2y.

$$-6y-12+4y=-8$$

اجمع -6y مع 4y.

$$-2y-12=-8$$

أضف 12 إلى طرفي المعادلة.

$$-2y=4$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=2y+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=2\left(-2\right)+4$$

اضرب 2 في -2.

$$x=-4+4$$

اجمع 4 مع -4.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 3.

$$x+y+2-3y=6$$

اجمع y مع -3y لتحصل على -2y.

$$x-2y+2=6$$

اطرح 2 من الطرفين.

$$x-2y=6-2$$

اطرح 2 من 6 لتحصل على 4.

$$x-2y=4$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

اضرب 2 في 2 لتحصل على 4.

$$3x+4y=6x-8$$

اطرح 6x من الطرفين.

$$3x+4y-6x=-8$$

اجمع 3x مع -6x لتحصل على -3x.

$$-3x+4y=-8$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-\left(-8\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=0,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 3.

$$x+y+2-3y=6$$

اجمع y مع -3y لتحصل على -2y.

$$x-2y+2=6$$

اطرح 2 من الطرفين.

$$x-2y=6-2$$

اطرح 2 من 6 لتحصل على 4.

$$x-2y=4$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

اضرب 2 في 2 لتحصل على 4.

$$3x+4y=6x-8$$

اطرح 6x من الطرفين.

$$3x+4y-6x=-8$$

اجمع 3x مع -6x لتحصل على -3x.

$$-3x+4y=-8$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

لجعل x و-3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-3x-3\left(-2\right)y=-3\times 4,-3x+4y=-8$$

تبسيط.

$$-3x+6y=-12,-3x+4y=-8$$

اطرح -3x+4y=-8 من -3x+6y=-12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-3x+3x+6y-4y=-12+8$$

اجمع -3x مع 3x. حذف الحدين -3x و3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6y-4y=-12+8$$

اجمع 6y مع -4y.

$$2y=-12+8$$

اجمع -12 مع 8.

$$2y=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في -3x+4y=-8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-3x+4\left(-2\right)=-8$$

اضرب 4 في -2.

$$-3x-8=-8$$

أضف 8 إلى طرفي المعادلة.

$$-3x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=-2$$