حل {l}{x+2/y+5=x+7/y}{2x-4y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { y + 5 } = \frac { x + 7 } { y } } \\ { 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{29}{6} = -4\frac{5}{6} \approx -4.833333333$$

$$y = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. لا يمكن أن يكون المتغير y مساوياً لأي من القيم -5,0 لأن القسمة على صفر غير محددة. ضرب طرفي المعادلة في y\left(y+5\right)، أقل مضاعف مشترك لـ y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب y في x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب y+5 في x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

اطرح yx من الطرفين.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

اجمع yx مع -yx لتحصل على 0.

$$2y=7y+5x+35$$

اطرح 7y من الطرفين.

$$2y-7y=5x+35$$

اجمع 2y مع -7y لتحصل على -5y.

$$-5y=5x+35$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=-\frac{1}{5}\left(5x+35\right)$$

اضرب -\frac{1}{5} في 35+5x.

$$y=-x-7$$

عوّض عن y بالقيمة -x-7 في المعادلة الأخرى، -4y+2x=-1.

$$-4\left(-x-7\right)+2x=-1$$

اضرب -4 في -x-7.

$$4x+28+2x=-1$$

اجمع 4x مع 2x.

$$6x+28=-1$$

اطرح 28 من طرفي المعادلة.

$$6x=-29$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=-\frac{29}{6}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{29}{6} في y=-x-7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-\left(-\frac{29}{6}\right)-7$$

اضرب -1 في -\frac{29}{6}.

$$y=\frac{29}{6}-7$$

اجمع -7 مع \frac{29}{6}.

$$y=-\frac{13}{6}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. لا يمكن أن يكون المتغير y مساوياً لأي من القيم -5,0 لأن القسمة على صفر غير محددة. ضرب طرفي المعادلة في y\left(y+5\right)، أقل مضاعف مشترك لـ y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب y في x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب y+5 في x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

اطرح yx من الطرفين.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

اجمع yx مع -yx لتحصل على 0.

$$2y=7y+5x+35$$

اطرح 7y من الطرفين.

$$2y-7y=5x+35$$

اجمع 2y مع -7y لتحصل على -5y.

$$-5y=5x+35$$

اطرح 5x من الطرفين.

$$-5y-5x=35$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 35-\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{2}{15}\times 35+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\-\frac{29}{6}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. لا يمكن أن يكون المتغير y مساوياً لأي من القيم -5,0 لأن القسمة على صفر غير محددة. ضرب طرفي المعادلة في y\left(y+5\right)، أقل مضاعف مشترك لـ y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب y في x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب y+5 في x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

اطرح yx من الطرفين.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

اجمع yx مع -yx لتحصل على 0.

$$2y=7y+5x+35$$

اطرح 7y من الطرفين.

$$2y-7y=5x+35$$

اجمع 2y مع -7y لتحصل على -5y.

$$-5y=5x+35$$

اطرح 5x من الطرفين.

$$-5y-5x=35$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

لجعل -5y و-4y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -5.

$$-4\left(-5\right)y-4\left(-5\right)x=-4\times 35,-5\left(-4\right)y-5\times 2x=-5\left(-1\right)$$

تبسيط.

$$20y+20x=-140,20y-10x=5$$

اطرح 20y-10x=5 من 20y+20x=-140 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$20y-20y+20x+10x=-140-5$$

اجمع 20y مع -20y. حذف الحدين 20y و-20y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$20x+10x=-140-5$$

اجمع 20x مع 10x.

$$30x=-140-5$$

اجمع -140 مع -5.

$$30x=-145$$

قسمة طرفي المعادلة على 30.

$$x=-\frac{29}{6}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{29}{6} في -4y+2x=-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-4y+2\left(-\frac{29}{6}\right)=-1$$

اضرب 2 في -\frac{29}{6}.

$$-4y-\frac{29}{3}=-1$$

أضف \frac{29}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$-4y=\frac{26}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=-\frac{13}{6}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$