حل {l}{5(x-3)/4-3(2y+1)/10=4-7(x+y+1)/8}{6x-5(2y-7)=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 ( x - 3 ) } { 4 } - \frac { 3 ( 2 y + 1 ) } { 10 } = \frac { 4 - 7 ( x + y + 1 ) } { 8 } } \\ { 6 x - 5 ( 2 y - 7 ) = 21 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{329}{229} = 1\frac{100}{229} \approx 1.436681223$$

$$y = \frac{518}{229} = 2\frac{60}{229} \approx 2.262008734$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 40، أقل مضاعف مشترك لـ 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

اضرب 10 في 5 لتحصل على 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 50 في x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

اضرب -4 في 3 لتحصل على -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -12 في 2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

اطرح 12 من -150 لتحصل على -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -7 في x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

اطرح 7 من 4 لتحصل على -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 5 في -3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

إضافة 35x لكلا الجانبين.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

اجمع 50x مع 35x لتحصل على 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

إضافة 35y لكلا الجانبين.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

اجمع -24y مع 35y لتحصل على 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

إضافة 162 لكلا الجانبين.

$$85x+11y=-15+162$$

اجمع -15 مع 162 لتحصل على 147.

$$85x+11y=147$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب -5 في 2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

اطرح 35 من الطرفين.

$$6x-10y=21-35$$

اطرح 35 من 21 لتحصل على -14.

$$6x-10y=-14$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$85x+11y=147$$

اطرح 11y من طرفي المعادلة.

$$85x=-11y+147$$

قسمة طرفي المعادلة على 85.

$$x=\frac{1}{85}\left(-11y+147\right)$$

اضرب \frac{1}{85} في -11y+147.

$$x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-11y+147}{85} في المعادلة الأخرى، 6x-10y=-14.

$$6\left(-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}\right)-10y=-14$$

اضرب 6 في \frac{-11y+147}{85}.

$$-\frac{66}{85}y+\frac{882}{85}-10y=-14$$

اجمع -\frac{66y}{85} مع -10y.

$$-\frac{916}{85}y+\frac{882}{85}=-14$$

اطرح \frac{882}{85} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{916}{85}y=-\frac{2072}{85}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{916}{85}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{518}{229}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{518}{229} في x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{11}{85}\times \frac{518}{229}+\frac{147}{85}$$

اضرب -\frac{11}{85} في \frac{518}{229} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{5698}{19465}+\frac{147}{85}$$

اجمع \frac{147}{85} مع -\frac{5698}{19465} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{329}{229}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 40، أقل مضاعف مشترك لـ 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

اضرب 10 في 5 لتحصل على 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 50 في x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

اضرب -4 في 3 لتحصل على -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -12 في 2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

اطرح 12 من -150 لتحصل على -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -7 في x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

اطرح 7 من 4 لتحصل على -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 5 في -3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

إضافة 35x لكلا الجانبين.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

اجمع 50x مع 35x لتحصل على 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

إضافة 35y لكلا الجانبين.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

اجمع -24y مع 35y لتحصل على 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

إضافة 162 لكلا الجانبين.

$$85x+11y=-15+162$$

اجمع -15 مع 162 لتحصل على 147.

$$85x+11y=147$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب -5 في 2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

اطرح 35 من الطرفين.

$$6x-10y=21-35$$

اطرح 35 من 21 لتحصل على -14.

$$6x-10y=-14$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{85\left(-10\right)-11\times 6}&-\frac{11}{85\left(-10\right)-11\times 6}\\-\frac{6}{85\left(-10\right)-11\times 6}&\frac{85}{85\left(-10\right)-11\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}&\frac{11}{916}\\\frac{3}{458}&-\frac{85}{916}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}\times 147+\frac{11}{916}\left(-14\right)\\\frac{3}{458}\times 147-\frac{85}{916}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{329}{229}\\\frac{518}{229}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 40، أقل مضاعف مشترك لـ 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

اضرب 10 في 5 لتحصل على 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 50 في x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

اضرب -4 في 3 لتحصل على -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -12 في 2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

اطرح 12 من -150 لتحصل على -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -7 في x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

اطرح 7 من 4 لتحصل على -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 5 في -3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

إضافة 35x لكلا الجانبين.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

اجمع 50x مع 35x لتحصل على 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

إضافة 35y لكلا الجانبين.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

اجمع -24y مع 35y لتحصل على 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

إضافة 162 لكلا الجانبين.

$$85x+11y=-15+162$$

اجمع -15 مع 162 لتحصل على 147.

$$85x+11y=147$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب -5 في 2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

اطرح 35 من الطرفين.

$$6x-10y=21-35$$

اطرح 35 من 21 لتحصل على -14.

$$6x-10y=-14$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

لجعل 85x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 85.

$$6\times 85x+6\times 11y=6\times 147,85\times 6x+85\left(-10\right)y=85\left(-14\right)$$

تبسيط.

$$510x+66y=882,510x-850y=-1190$$

اطرح 510x-850y=-1190 من 510x+66y=882 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$510x-510x+66y+850y=882+1190$$

اجمع 510x مع -510x. حذف الحدين 510x و-510x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$66y+850y=882+1190$$

اجمع 66y مع 850y.

$$916y=882+1190$$

اجمع 882 مع 1190.

$$916y=2072$$

قسمة طرفي المعادلة على 916.

$$y=\frac{518}{229}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{518}{229} في 6x-10y=-14. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x-10\times \frac{518}{229}=-14$$

اضرب -10 في \frac{518}{229}.

$$6x-\frac{5180}{229}=-14$$

أضف \frac{5180}{229} إلى طرفي المعادلة.

$$6x=\frac{1974}{229}$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{329}{229}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$