حل {l}{2x-y/5=3}{x+y/3=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y } { 5 } = 3 } \\ { \frac { x + y } { 3 } = 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=8$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 5.

$$2x-y=3\times 5$$

اضرب 3 في 5 لتحصل على 15.

$$2x-y=15$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 3.

$$x+y=3\times 3$$

اضرب 3 في 3 لتحصل على 9.

$$x+y=9$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-y=15,x+y=9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-y=15$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=y+15$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+15\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في y+15.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{15+y}{2} في المعادلة الأخرى، x+y=9.

$$\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}+y=9$$

اجمع \frac{y}{2} مع y.

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}=9$$

اطرح \frac{15}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{2}y=\frac{3}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1+15}{2}$$

اجمع \frac{15}{2} مع \frac{1}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=8,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 5.

$$2x-y=3\times 5$$

اضرب 3 في 5 لتحصل على 15.

$$2x-y=15$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 3.

$$x+y=3\times 3$$

اضرب 3 في 3 لتحصل على 9.

$$x+y=9$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-y=15,x+y=9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 15+\frac{1}{3}\times 9\\-\frac{1}{3}\times 15+\frac{2}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=8,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 5.

$$2x-y=3\times 5$$

اضرب 3 في 5 لتحصل على 15.

$$2x-y=15$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 3.

$$x+y=3\times 3$$

اضرب 3 في 3 لتحصل على 9.

$$x+y=9$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-y=15,x+y=9$$

لجعل 2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2x-y=15,2x+2y=2\times 9$$

تبسيط.

$$2x-y=15,2x+2y=18$$

اطرح 2x+2y=18 من 2x-y=15 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x-y-2y=15-18$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-y-2y=15-18$$

اجمع -y مع -2y.

$$-3y=15-18$$

اجمع 15 مع -18.

$$-3y=-3$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x+y=9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+1=9$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$x=8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=8,y=1$$