حل {l}{2x-5/3+3y-4/3=-1/3}{y=x+5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - 5 } { 3 } + \frac { 3 y - 4 } { 3 } = - \frac { 1 } { 3 } } \\ { y = x + 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

اطرح 4 من -5 لتحصل على -9.

$$2x-9+3y=-1$$

إضافة 9 لكلا الجانبين.

$$2x+3y=-1+9$$

اجمع -1 مع 9 لتحصل على 8.

$$2x+3y=8$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح x من الطرفين.

$$y-x=5$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=8$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+8$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{2}+4 في المعادلة الأخرى، -x+y=5.

$$-\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+y=5$$

اضرب -1 في -\frac{3y}{2}+4.

$$\frac{3}{2}y-4+y=5$$

اجمع \frac{3y}{2} مع y.

$$\frac{5}{2}y-4=5$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{5}{2}y=9$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{5}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{18}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{18}{5} في x=-\frac{3}{2}y+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{18}{5}+4$$

اضرب -\frac{3}{2} في \frac{18}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{27}{5}+4$$

اجمع 4 مع -\frac{27}{5}.

$$x=-\frac{7}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

اطرح 4 من -5 لتحصل على -9.

$$2x-9+3y=-1$$

إضافة 9 لكلا الجانبين.

$$2x+3y=-1+9$$

اجمع -1 مع 9 لتحصل على 8.

$$2x+3y=8$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح x من الطرفين.

$$y-x=5$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-3\left(-1\right)}&\frac{2}{2-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8-\frac{3}{5}\times 5\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

اطرح 4 من -5 لتحصل على -9.

$$2x-9+3y=-1$$

إضافة 9 لكلا الجانبين.

$$2x+3y=-1+9$$

اجمع -1 مع 9 لتحصل على 8.

$$2x+3y=8$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح x من الطرفين.

$$y-x=5$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

لجعل 2x و-x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$-2x-3y=-8,2\left(-1\right)x+2y=2\times 5$$

تبسيط.

$$-2x-3y=-8,-2x+2y=10$$

اطرح -2x+2y=10 من -2x-3y=-8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2x+2x-3y-2y=-8-10$$

اجمع -2x مع 2x. حذف الحدين -2x و2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3y-2y=-8-10$$

اجمع -3y مع -2y.

$$-5y=-8-10$$

اجمع -8 مع -10.

$$-5y=-18$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=\frac{18}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{18}{5} في -x+y=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-x+\frac{18}{5}=5$$

اطرح \frac{18}{5} من طرفي المعادلة.

$$-x=\frac{7}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=-\frac{7}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$