حل {l}{2x+7y/3+y=0}{x+5y-1/2=2-x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 7 y } { 3 } + y = 0 } \\ { x + \frac { 5 y - 1 } { 2 } = 2 - x } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 3.

$$2x+7y+3y=0$$

اجمع 7y مع 3y لتحصل على 10y.

$$2x+10y=0$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

إضافة 2x لكلا الجانبين.

$$2x+5y-1+2x=4$$

اجمع 2x مع 2x لتحصل على 4x.

$$4x+5y-1=4$$

إضافة 1 لكلا الجانبين.

$$4x+5y=4+1$$

اجمع 4 مع 1 لتحصل على 5.

$$4x+5y=5$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+10y=0$$

اطرح 10y من طرفي المعادلة.

$$2x=-10y$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)y$$

اضرب \frac{1}{2} في -10y.

$$x=-5y$$

عوّض عن x بالقيمة -5y في المعادلة الأخرى، 4x+5y=5.

$$4\left(-5\right)y+5y=5$$

اضرب 4 في -5y.

$$-20y+5y=5$$

اجمع -20y مع 5y.

$$-15y=5$$

قسمة طرفي المعادلة على -15.

$$y=-\frac{1}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{3} في x=-5y. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-5\left(-\frac{1}{3}\right)$$

اضرب -5 في -\frac{1}{3}.

$$x=\frac{5}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 3.

$$2x+7y+3y=0$$

اجمع 7y مع 3y لتحصل على 10y.

$$2x+10y=0$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

إضافة 2x لكلا الجانبين.

$$2x+5y-1+2x=4$$

اجمع 2x مع 2x لتحصل على 4x.

$$4x+5y-1=4$$

إضافة 1 لكلا الجانبين.

$$4x+5y=4+1$$

اجمع 4 مع 1 لتحصل على 5.

$$4x+5y=5$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-10\times 4}&-\frac{10}{2\times 5-10\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-10\times 4}&\frac{2}{2\times 5-10\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5\\-\frac{1}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 3.

$$2x+7y+3y=0$$

اجمع 7y مع 3y لتحصل على 10y.

$$2x+10y=0$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

إضافة 2x لكلا الجانبين.

$$2x+5y-1+2x=4$$

اجمع 2x مع 2x لتحصل على 4x.

$$4x+5y-1=4$$

إضافة 1 لكلا الجانبين.

$$4x+5y=4+1$$

اجمع 4 مع 1 لتحصل على 5.

$$4x+5y=5$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

لجعل 2x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$4\times 2x+4\times 10y=0,2\times 4x+2\times 5y=2\times 5$$

تبسيط.

$$8x+40y=0,8x+10y=10$$

اطرح 8x+10y=10 من 8x+40y=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8x-8x+40y-10y=-10$$

اجمع 8x مع -8x. حذف الحدين 8x و-8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$40y-10y=-10$$

اجمع 40y مع -10y.

$$30y=-10$$

قسمة طرفي المعادلة على 30.

$$y=-\frac{1}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{3} في 4x+5y=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=5$$

اضرب 5 في -\frac{1}{3}.

$$4x-\frac{5}{3}=5$$

أضف \frac{5}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$4x=\frac{20}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$