حل {l}{2/3x+3/4y=17/12}{1/6x-frac{1}{2}y=-frac{1}{3}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 3 } { 4 } y = \frac { 17 } { 12 } } \\ { \frac { 1 } { 6 } x - \frac { 1 } { 2 } y = - \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$\frac{2}{3}x+\frac{3}{4}y=\frac{17}{12},\frac{1}{6}x-\frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$\frac{2}{3}x+\frac{3}{4}y=\frac{17}{12}$$

اطرح \frac{3y}{4} من طرفي المعادلة.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{3}{4}y+\frac{17}{12}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{2}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{3}{4}y+\frac{17}{12}\right)$$

اضرب \frac{3}{2} في -\frac{3y}{4}+\frac{17}{12}.

$$x=-\frac{9}{8}y+\frac{17}{8}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-9y+17}{8} في المعادلة الأخرى، \frac{1}{6}x-\frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}.

$$\frac{1}{6}\left(-\frac{9}{8}y+\frac{17}{8}\right)-\frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}$$

اضرب \frac{1}{6} في \frac{-9y+17}{8}.

$$-\frac{3}{16}y+\frac{17}{48}-\frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}$$

اجمع -\frac{3y}{16} مع -\frac{y}{2}.

$$-\frac{11}{16}y+\frac{17}{48}=-\frac{1}{3}$$

اطرح \frac{17}{48} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{11}{16}y=-\frac{11}{16}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{11}{16}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=-\frac{9}{8}y+\frac{17}{8}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{-9+17}{8}$$

اجمع \frac{17}{8} مع -\frac{9}{8} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$\frac{2}{3}x+\frac{3}{4}y=\frac{17}{12},\frac{1}{6}x-\frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{12}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{17}{12}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{17}{12}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{17}{12}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{4}\times \frac{1}{6}}&-\frac{\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{4}\times \frac{1}{6}}\\-\frac{\frac{1}{6}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{4}\times \frac{1}{6}}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{4}\times \frac{1}{6}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{17}{12}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{11}&\frac{18}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{16}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{17}{12}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{11}\times \frac{17}{12}+\frac{18}{11}\left(-\frac{1}{3}\right)\\\frac{4}{11}\times \frac{17}{12}-\frac{16}{11}\left(-\frac{1}{3}\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$\frac{2}{3}x+\frac{3}{4}y=\frac{17}{12},\frac{1}{6}x-\frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}$$

لجعل \frac{2x}{3} و\frac{x}{6} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في \frac{1}{6} وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في \frac{2}{3}.

$$\frac{1}{6}\times \frac{2}{3}x+\frac{1}{6}\times \frac{3}{4}y=\frac{1}{6}\times \frac{17}{12},\frac{2}{3}\times \frac{1}{6}x+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)y=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)$$

تبسيط.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{8}y=\frac{17}{72},\frac{1}{9}x-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{9}$$

اطرح \frac{1}{9}x-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{9} من \frac{1}{9}x+\frac{1}{8}y=\frac{17}{72} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{1}{9}x-\frac{1}{9}x+\frac{1}{8}y+\frac{1}{3}y=\frac{17}{72}+\frac{2}{9}$$

اجمع \frac{x}{9} مع -\frac{x}{9}. حذف الحدين \frac{x}{9} و-\frac{x}{9}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\frac{1}{8}y+\frac{1}{3}y=\frac{17}{72}+\frac{2}{9}$$

اجمع \frac{y}{8} مع \frac{y}{3}.

$$\frac{11}{24}y=\frac{17}{72}+\frac{2}{9}$$

اجمع \frac{17}{72} مع \frac{2}{9} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$\frac{11}{24}y=\frac{11}{24}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{11}{24}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في \frac{1}{6}x-\frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{2}=-\frac{1}{3}$$

أضف \frac{1}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{6}x=\frac{1}{6}$$

ضرب طرفي المعادلة في 6.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=1$$