حل {l}{2/3x+1/2y=5}{x-3y=6.}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 1 } { 2 } y = 5 } \\ { x - 3 y = 6 . } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{36}{5} = 7\frac{1}{5} = 7.2$$

$$y=\frac{2}{5}=0.4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,x-3y=6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5$$

اطرح \frac{y}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{1}{2}y+5$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{2}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{2}y+5\right)$$

اضرب \frac{3}{2} في -\frac{y}{2}+5.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{15}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{4}+\frac{15}{2} في المعادلة الأخرى، x-3y=6.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{15}{2}-3y=6$$

اجمع -\frac{3y}{4} مع -3y.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}=6$$

اطرح \frac{15}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{15}{4}y=-\frac{3}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{15}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{2}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{2}{5} في x=-\frac{3}{4}y+\frac{15}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}+\frac{15}{2}$$

اضرب -\frac{3}{4} في \frac{2}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{3}{10}+\frac{15}{2}$$

اجمع \frac{15}{2} مع -\frac{3}{10} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{36}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{36}{5},y=\frac{2}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,x-3y=6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 6\\\frac{2}{5}\times 5-\frac{4}{15}\times 6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{36}{5}\\\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{36}{5},y=\frac{2}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,x-3y=6$$

لجعل \frac{2x}{3} وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في \frac{2}{3}.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}\left(-3\right)y=\frac{2}{3}\times 6$$

تبسيط.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,\frac{2}{3}x-2y=4$$

اطرح \frac{2}{3}x-2y=4 من \frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y+2y=5-4$$

اجمع \frac{2x}{3} مع -\frac{2x}{3}. حذف الحدين \frac{2x}{3} و-\frac{2x}{3}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\frac{1}{2}y+2y=5-4$$

اجمع \frac{y}{2} مع 2y.

$$\frac{5}{2}y=5-4$$

اجمع 5 مع -4.

$$\frac{5}{2}y=1$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{5}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{2}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{2}{5} في x-3y=6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-3\times \frac{2}{5}=6$$

اضرب -3 في \frac{2}{5}.

$$x-\frac{6}{5}=6$$

أضف \frac{6}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$x=\frac{36}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{36}{5},y=\frac{2}{5}$$