حل {l}{1/3x=1/4y}{1/4x-1/6y=100}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 3 } x = \frac { 1 } { 4 } y } \\ { \frac { 1 } { 4 } x - \frac { 1 } { 6 } y = 100 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3600$$

$$y=4800$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{1}{4}y من الطرفين.

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}y=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}y=0,\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=100$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}y=0$$

أضف \frac{y}{4} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{3}x=\frac{1}{4}y$$

ضرب طرفي المعادلة في 3.

$$x=3\times \frac{1}{4}y$$

اضرب 3 في \frac{y}{4}.

$$x=\frac{3}{4}y$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y}{4} في المعادلة الأخرى، \frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=100.

$$\frac{1}{4}\times \frac{3}{4}y-\frac{1}{6}y=100$$

اضرب \frac{1}{4} في \frac{3y}{4}.

$$\frac{3}{16}y-\frac{1}{6}y=100$$

اجمع \frac{3y}{16} مع -\frac{y}{6}.

$$\frac{1}{48}y=100$$

ضرب طرفي المعادلة في 48.

$$y=4800$$

عوّض عن y بالقيمة 4800 في x=\frac{3}{4}y. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{4}\times 4800$$

اضرب \frac{3}{4} في 4800.

$$x=3600$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3600,y=4800$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{1}{4}y من الطرفين.

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}y=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}y=0,\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=100$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\100\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\100\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\100\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\100\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{6}\right)-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\right)}&-\frac{-\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{6}\right)-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\right)}\\-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{6}\right)-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\right)}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{6}\right)-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\100\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24&36\\-36&48\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\100\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\times 100\\48\times 100\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3600\\4800\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3600,y=4800$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{1}{4}y من الطرفين.

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}y=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}y=0,\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=100$$

لجعل \frac{x}{3} و\frac{x}{4} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في \frac{1}{4} وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في \frac{1}{3}.

$$\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}x+\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{4}\right)y=0,\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}x+\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{6}\right)y=\frac{1}{3}\times 100$$

تبسيط.

$$\frac{1}{12}x-\frac{1}{16}y=0,\frac{1}{12}x-\frac{1}{18}y=\frac{100}{3}$$

اطرح \frac{1}{12}x-\frac{1}{18}y=\frac{100}{3} من \frac{1}{12}x-\frac{1}{16}y=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{1}{12}x-\frac{1}{12}x-\frac{1}{16}y+\frac{1}{18}y=-\frac{100}{3}$$

اجمع \frac{x}{12} مع -\frac{x}{12}. حذف الحدين \frac{x}{12} و-\frac{x}{12}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-\frac{1}{16}y+\frac{1}{18}y=-\frac{100}{3}$$

اجمع -\frac{y}{16} مع \frac{y}{18}.

$$-\frac{1}{144}y=-\frac{100}{3}$$

ضرب طرفي المعادلة في -144.

$$y=4800$$

عوّض عن y بالقيمة 4800 في \frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=100. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}\times 4800=100$$

اضرب -\frac{1}{6} في 4800.

$$\frac{1}{4}x-800=100$$

أضف 800 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{4}x=900$$

ضرب طرفي المعادلة في 4.

$$x=3600$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3600,y=4800$$