حل {c}{y=2x+1}{y=-5x+15}

$$\left\{ \begin{array} { c } { y = 2 x + 1 } \\ { y = - 5 x + 15 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=2$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=1$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 5x لكلا الجانبين.

$$y+5x=15$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y-2x=1,y+5x=15$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y-2x=1$$

أضف 2x إلى طرفي المعادلة.

$$y=2x+1$$

عوّض عن y بالقيمة 2x+1 في المعادلة الأخرى، y+5x=15.

$$2x+1+5x=15$$

اجمع 2x مع 5x.

$$7x+1=15$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$7x=14$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=2$$

عوّض عن x بالقيمة 2 في y=2x+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=2\times 2+1$$

اضرب 2 في 2.

$$y=4+1$$

اجمع 1 مع 4.

$$y=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=5,x=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=1$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 5x لكلا الجانبين.

$$y+5x=15$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y-2x=1,y+5x=15$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5-\left(-2\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}+\frac{2}{7}\times 15\\-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}\times 15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=5,x=2$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=1$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 5x لكلا الجانبين.

$$y+5x=15$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y-2x=1,y+5x=15$$

اطرح y+5x=15 من y-2x=1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$y-y-2x-5x=1-15$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-2x-5x=1-15$$

اجمع -2x مع -5x.

$$-7x=1-15$$

اجمع 1 مع -15.

$$-7x=-14$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$x=2$$

عوّض عن x بالقيمة 2 في y+5x=15. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y+5\times 2=15$$

اضرب 5 في 2.

$$y+10=15$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$y=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=5,x=2$$