حل {c}{y=2-2x}{5y+2x=14}

$$\left\{ \begin{array} { c } { y = 2 - 2 x } \\ { 5 y + 2 x = 14 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 2x لكلا الجانبين.

$$y+2x=2$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y+2x=2,5y+2x=14$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y+2x=2$$

اطرح 2x من طرفي المعادلة.

$$y=-2x+2$$

عوّض عن y بالقيمة -2x+2 في المعادلة الأخرى، 5y+2x=14.

$$5\left(-2x+2\right)+2x=14$$

اضرب 5 في -2x+2.

$$-10x+10+2x=14$$

اجمع -10x مع 2x.

$$-8x+10=14$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$-8x=4$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$x=-\frac{1}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{1}{2} في y=-2x+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-2\left(-\frac{1}{2}\right)+2$$

اضرب -2 في -\frac{1}{2}.

$$y=1+2$$

اجمع 2 مع 1.

$$y=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=3,x=-\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 2x لكلا الجانبين.

$$y+2x=2$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y+2x=2,5y+2x=14$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-2\times 5}&-\frac{2}{2-2\times 5}\\-\frac{5}{2-2\times 5}&\frac{1}{2-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{5}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{4}\times 14\\\frac{5}{8}\times 2-\frac{1}{8}\times 14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=3,x=-\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 2x لكلا الجانبين.

$$y+2x=2$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y+2x=2,5y+2x=14$$

اطرح 5y+2x=14 من y+2x=2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$y-5y+2x-2x=2-14$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y-5y=2-14$$

اجمع y مع -5y.

$$-4y=2-14$$

اجمع 2 مع -14.

$$-4y=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في 5y+2x=14. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5\times 3+2x=14$$

اضرب 5 في 3.

$$15+2x=14$$

اطرح 15 من طرفي المعادلة.

$$2x=-1$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=3,x=-\frac{1}{2}$$